解説: 微分と積分はなぜ「逆」の操作なのか？
上のデモで体験したように、微分と積分は、微積分学における2つの中心的な概念であり、互いに逆の働きをします。
- 微分 (Derivative) - 「瞬間の変化」を捉える
- 問い:「ある瞬間において、物事はどれくらいの勢いで変化しているか？」
可視化: グラフ上のある点における接線の傾きとして表現されます。傾きが急であれば変化が大きく、平坦であれば変化が小さいことを意味します。
- 積分 (Integral) - 「変化の蓄積」を計算する
- 問い:「ある期間にわたって、変化した量は合計でどれくらいか？」
可視化: グラフとx軸で囲まれた部分の面積として表現されます。これは、非常に細かい長方形の面積を無限に足し合わせる操作に相当します。
微積分学の基本定理
この2つの操作は、驚くべきことにつながっています。「ある関数を積分した結果を、もう一度微分すると、元の関数に戻る」のです。これは、「変化の蓄積」の「瞬間の変化率」は、元の「変化」そのものである、と解釈できます。この逆の関係性が、科学や工学のあらゆる分野で応用される微積分学の基礎をなしています。
「速度」と「移動距離」の関係で考えてみよう
この関係は、車のドライブに例えると非常に直感的に理解できます。
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元の関数 `f(x)` ＝ 「ある瞬間の速度」
ドライブ中、スピードメーターが刻一刻と指し示す値が、元の関数 `f(x)` だと考えてください。
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積分 ＝ 「変化の蓄積」
「速度」を、ある時間（出発から `x` 時間後まで）にわたってずっと足し合わせると、その時間までに進んだ「総移動距離」になります。この「総移動距離」を表す関数を `F(x)` とします。
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微分 ＝ 「瞬間の変化率」
次に、積分結果である「総移動距離 `F(x)`」を微分してみましょう。これは「距離がどれくらいの勢いで増えているか？」を求めることであり、その瞬間の「速度」そのものです。
速度 (`f(x)`)
→【積分】→
総移動距離 (`F(x)`)
→【微分】→
速度 (`f(x)`)
このように、「速度」から出発して「積分」と「微分」を順に行うと、見事に元の「速度」に戻ってきました。これが、微分と積分が互いに逆の操作であることの直感的な証明です。
数式による証明
この関係を、数学の言葉でより厳密に表現してみましょう。
1. 定義:
ある関数 `f(t)` を、定数 `a` から変数 `x` まで積分した結果（面積）を `F(x)` と定義します。
$$ F(x) = \int_a^x f(t) \,dt $$
2. 微分:
この `F(x)` を `x` で微分します。微分の定義式は次の通りです。
$$ \frac{d}{dx} F(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} $$
3. 式の変形:
分子の `F(x+h) - F(x)` は、`x` から `x+h` までの面積に等しくなります。
$$ F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t) \,dt $$
これを微分の式に戻すと、次のようになります。
$$ \frac{d}{dx} F(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) \,dt $$
4. 解釈と結論:
右辺は、幅が `h` の区間における `f(t)` の平均の高さを意味します。
極限 `h→0` によってこの区間の幅が限りなくゼロに近づくと、平均の高さは点 `x` での高さ、つまり `f(x)` そのものに収束します。
以上のことから、次の美しい関係式が導かれます。これが微積分学の基本定理です。
$$ \frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \,dt \right) = f(x) $$