微分 vs. 偏微分

解説: どの「坂」を下るのか？

変数が一つ（例: y = f(x)）の場合、「微分」はそのグラフの接線の傾きを意味しました。しかし、このデモのように変数が二つ（損失 = f(w1, w2)）になると、地形は3Dになり、坂の方向は無数に存在します。ここで「微分」と「偏微分」の違いが重要になります。

偏微分 (Partial Derivative) - 特定方向だけの坂道

「他の変数は全て固定して、一つの変数だけを動かしたら、どれくらい変化するか？」を測るのが偏微分です。

• x方向の偏微分 (∂f/∂x): z軸（青）の値を固定し、x軸方向（赤）にだけ動いたときの傾きを計算します。デモで青いボールが左右の坂だけを転がり落ちるのはこのためです。
• z方向の偏微分 (∂f/∂z): x軸（赤）の値を固定し、z軸方向（青）にだけ動いたときの傾きを計算します。緑のボールに対応します。

勾配 (Gradient) / 全微分 - 最も急な坂道

「では、全ての方向の中で、最も急な下り坂はどっちだ？」に答えるのが勾配です。勾配は、各方向の偏微分を組み合わせたベクトル（矢印）として表現されます。

• 勾配ベクトル (∇f): [∂f/∂x, ∂f/∂z] のように、各軸の偏微分を成分に持つベクトルです。このベクトルが指し示す方向が、その地点で最も損失が急激に増加する方向であり、その逆方向が最も急な下り坂になります。
• 機械学習で使われる「勾配降下法」は、この勾配を使って、最も効率的に損失の谷底へと向かっていきます。赤いボールの動きがこれに相当します。