ポイントは15行目です。月は1月が0番目の月ということで0から数えます。

<!DOCTYPE html>
<html>
    <head>
        <meta charset="UTF-8">
        <title>today.html</title>
    </head>
    <body>
        <p id="Today"></p>
        <script>
            // 現在の日時を取得します
            let today = new Date();

            // 年を取得します
            let year = today.getFullYear();

            // 月を取得します(getMonth()は0から11の範囲で月を返すため、人間が理解しやすいように1を加えます)
            let month = today.getMonth() + 1;

            // 今日が週の何日目かを取得します(0(日曜)から6(土曜)の値)
            let week = today.getDay();

            // 日を取得します
            let day = today.getDate();

            // 曜日を表す配列を定義します(インデックス0が日曜日、6が土曜日)
            let day_of_the_week = new Array("日", "月", "火", "水", "木", "金", "土");

            // "#Today"というIDを持つ要素のテキストとして、現在の年月日と曜日を表示します
            document.querySelector("#Today").textContent = 
            (year + "年" + month + "月" + day + "日 " + day_of_the_week[week] + "曜日"); 
        </script>
    </body>
</html>

最後までお読みいただきありがとうございます。