補講3 AI時代の「数学」をPythonで始めよう！線形代数の第一歩

AI時代の「数学」をPythonで始めよう！線形代数の第一歩

こんにちは。ゆうせいです。

いよいよ今日から、Pythonを使って「線形代数（せんけいだいすう）」という数学の分野を一緒に探検していきましょう！

「え、数学？しかも線形代数って... なんだか難しそう」

そう感じたかもしれませんね。

たしかに、大学の数学の授業で出てくるような、難しい記号や数式ばかりを想像してしまうかもしれません。

ですが、心配は無用です！

このシリーズの第1章であるこの記事では、難しい計算は一切しません。

まずは、「線形代数って、そもそも何？」「なんでそれをPythonで学ぶの？」という、一番大事な「スタート地点」を、分かりやすい言葉で解き明かしていきます。

線形代数って、結局なに？

では、さっそくですが、「線形代数」という言葉を分解してみましょう。

「線形」と「代数」ですね。

まず「代数」とは何でしょう？

これは、中学・高校の数学で触れた「文字式」のことだと思ってください。

例えば xや yを使って方程式を解いたりしましたよね。数字の代わりに文字（記号）を使って、ものごとの関係性を扱う分野が「代数」です。

では、今回の主役である「線形」とは何でしょうか？

「線形」とは、すごく簡単に言うと「まっすぐ」という意味です。

グラフに書いたときに、ぐにゃぐにゃ曲がった曲線ではなく、ビシッと引かれた「直線」になるような、単純な関係性を表します。

つまり「線形代数」とは、「まっすぐ（線形）」で「単純な関係性」を、「文字（代数）」を使って扱うための数学、というイメージを持ってみてください。

「それだけ？でも、それがAIとか写真加工にどう繋がるの？」

良い質問ですね！

ここで、とても大事な「例え話」をします。

あなたが今、スマホでモノクロの写真を撮ったと想像してください。

その写真、コンピュータの中ではどうなっていると思いますか？

実は、それは単なる「数字の表」なんです。

写真をものすごく細かく「マス目」に区切って、その一つ一つのマス（ピクセルと言います）に、「どれくらい黒いか（または白いか）」を数字で割り当てています。

例えば「0 = 真っ黒」「255 = 真っ白」のように。

数万、数百万個の数字が並んだ「巨大な表」。それが写真の正体です。

もし、この写真全体を「少し明るく」したい場合、どうしますか？

手作業で何万個もの数字を一つずつ「+10」していくのは... 想像するだけで気が遠くなりますよね。

ここで線形代数の出番です！

線形代数は、こういった「数字がたくさん集まった表（これを行列と言います）」全体を、まるで「一つのもの」として扱えるようにする魔法の道具なんです。

「写真（という巨大な表）＋ 10」

こんな風に、たくさんの数字の集まりを「まるごと」操作するためのルールや技術、それが線形代数のパワフルなところです。

なぜ「Python」で学ぶの？コンピュータに計算させるメリット

さて、先ほどの写真の例で、なんとなくイメージが湧いたかもしれません。

線形代数が扱うのは「たくさんの数字の集まり」です。

もし、これをすべて「手計算」でやろうとしたら、どうなるでしょう？

例えば、3マス x 3マスの表（9個の数字）くらいなら、紙と鉛筆でも頑張れるかもしれません。

でも、実際の写真データは1000マス x 1000マス（100万個の数字）だったりします。

これを手計算するのは、絶対に不可能です！

そこで登場するのが、コンピュータ、特に「Python（パイソン）」というプログラミング言語です。

Pythonがなぜ良いのでしょうか？

それは、Pythonには「Numpy（ナンパイ）」という、線形代数の計算をめちゃくちゃ高速に、そして簡単に実行してくれる「魔法の道具箱（ライブラリと呼ばれます）」が用意されているからです。

Numpyを使えば、さっきの「100万個の数字すべてに10を足す」なんていう命令も、たった一行で、しかも一瞬で終わらせてくれます。

私たちが学ぶべきことは、面倒な手計算の方法を暗記することではありません。

「こういうことがしたい」（例：写真を明るくしたい）という目的を、Python (Numpy) が理解できる言葉（コード）で「指示」してあげること、ただそれだけです。

人間は「概念」を理解することに集中し、面倒な計算はすべてコンピュータに任せる。

これが、現代においてPythonで線形代数を学ぶ最大のメリットです！

準備運動：PythonとNumpyのセットアップ

「よーし、じゃあそのPythonとNumpyを準備しなきゃ！」

...と意気込むと、最初の「環境構築（かんきょうこうちく）」という壁にぶつかることがあります。

自分のパソコンで動くように設定するのが、意外と初心者には難しいのです。

ですが、安心してください。

今は、その面倒な作業をすべてスキップできる、素晴らしいサービスがあります。

その名も「Google Colaboratory（グーグル・コラボラトリー）」です。

（よく「Colab（コラボ）」と呼ばれます）

これはGoogleが提供しているサービスで、Webブラウザ（いつもインターネットを見ているソフト）さえあれば、Googleのアカウント（Gmailなど）を使って、すぐにPythonを動かすことができます。

素晴らしいことに、Pythonも、先ほど紹介した「Numpy」も、最初からすべて使える状態になっています。

面倒なインストール作業は一切不要！

あなたは、Google Colabを開いて、すぐに学習をスタートできるのです。

第1章のまとめ

お疲れ様でした！

まずはウォーミングアップ完了です。

線形代数とは？「まっすぐ」な関係を扱う数学で、「数字の表（行列）」をまるごと操作する技術。
なぜPython (Numpy)？人間は「何がしたいか」に集中し、面倒な「手計算」はコンピュータに任せるため。
準備は？「Google Colab」を使えば、今すぐゼロ円でスタートできる！

これで、線形代数を学ぶ「理由」と「道具」が揃いました。

次回、第2章では、いよいよ線形代数の主役である「ベクトル」と「行列」という「数字の箱」を、実際にPython (Numpy) を使って作ってみましょう！

お楽しみに。

Pythonでデータを「箱」に入れる魔法 - ベクトルと行列の世界

こんにちは。ゆうせいです。

第1章では、「なぜ線形代数をPythonで学ぶのか？」というお話をしましたね。

面倒な計算はコンピュータに任せて、私たちは「何をしたいか」という本質を理解しよう！という内容でした。

さて、第2章の今回は、いよいよ線形代数の主役が登場します。

それは、データを効率よく扱うための「魔法の箱」...

そう、「ベクトル」と「行列（ぎょうれつ）」です！

「名前は聞いたことあるけど、一体なんなの？」

大丈夫です。この2つが何者で、どうやってPythonで作り出すのかを、一緒に見ていきましょう！

「ベクトル」って何？

まず、「ベクトル」から始めましょう。

みなさんは「ベクトル」と聞くと、何を想像しますか？

物理の授業で出てきた「向きと大きさを持つ矢印」を思い出すかもしれません。

それも正解です！

ですが、データサイエンスやプログラミングの世界では、もう少し広く「いくつかの数字が、順番に並んだ『かたまり』」のことをベクトルと呼びます。

例えば、ある人の「身長」と「体重」をセットで扱いたいとき。

[170, 65]

このように、カンマで区切ってカッコでくくった数字の並び。これがベクトルです。

「あれ？ただ数字が並んでるだけ？」

はい、見た目はそれだけです。

でも、この「セットにする」というのが重要なんです。

（専門用語解説：「スカラー」との違いは？）

ここで「スカラー」という言葉も覚えておきましょう。

「スカラー」とは、単なる「1個」の数字のことです。

例えば「気温25度」の「25」だけならスカラーです。

それに対して「ベクトル」は、複数の数字の「集まり」です。

「今日の天気データ」として [25, 60] （気温25度、湿度60%）とセットにした瞬間に、それはベクトルになります。

スカラーは「点」、ベクトルは「矢印」や「座標」と考えると分かりやすいかもしれませんね。

Python (Numpy) でベクトルを作ってみよう！

では、この「ベクトル」という箱を、Pythonで作ってみましょう！

ここで、第1章でお話しした魔法の道具箱、「Numpy（ナンパイ）」を使います。

まず、PythonのプログラムでNumpyを使えるように、「おまじない」の言葉を書きます。

これは、Numpyを使うときは必ず最初に書くものだと思ってください。

import numpy as np

（これは、「numpyという道具箱を、これからは np というあだ名で呼びますよ」という宣言です）

この1行を書いたら、さっそくベクトルを作ってみます。

例えば、[1, 2, 3] というベクトルを作ってみましょう。

import numpy as np

# [1, 2, 3] というベクトルを作る
my_vector = np.array([1, 2, 3])

# 中身を見てみる
print(my_vector)

これを実行すると、[1 2 3] と表示されるはずです。

たったこれだけ！

np.array() という命令を使って、カッコ [] で囲んだ数字のリストを渡すだけ。

簡単だと思いませんか？

このようにNumpyで作ったベクトルのことを、Numpyの用語では「1次元配列（1-dimensional array）」と呼びます。

「配列」とは「ものがズラッと並んだもの」という意味ですね。

「行列」って何？

ベクトルが「数字の1列の並び」だと分かりました。

では、次なる主役「行列（ぎょうれつ）」とは何でしょうか？

もう想像がついているかもしれませんね。

行列とは、「ベクトルが、さらにいくつか集まって『表』になったもの」です。

そう、まさにエクセルのシートや、学校のクラスの成績一覧表のような「タテとヨコ」に数字が並んだもの、それが「行列」です。

第1章で例に出した、写真のピクセル（画素）データも、数字がタテ・ヨコにびっしり並んだ「行列」の代表例ですね。

例えば、2人の生徒の「身長」と「体重」をまとめた表を考えてみましょう。

Aさん: [170, 65]
Bさん: [155, 50]

この2つのベクトルを、そのまま合体させて...

[[170, 65],

[155, 50]]

このように2段に重ねたもの。これが行列です！

（専門用語解説：「行」と「列」を間違えないで！）

行列を扱うとき、絶対に知っておかないといけない言葉が2つあります。

それは「行（ぎょう）」と「列（れつ）」です。

行：横方向の並びのことです。（Aさんのデータ、Bさんのデータ）
列：縦方向の並びのことです。（身長のデータ、体重のデータ）

この例の行列は、「2行2列」の行列と呼びます。

（横に2段、縦に2列だからですね）

この「行」と「列」は、今後ずっと使いますから、しっかり覚えてくださいね！

Python (Numpy) で行列を作ってみよう！

行列の作り方も、Numpyを使えばベクトルのときとほとんど同じです。

先ほどの「2行2列」の行列を作ってみましょう。

作り方は「ベクトルのリスト（配列）」を、さらに np.array() で囲むイメージです。

import numpy as np

# [[170, 65], [155, 50]] という行列を作る
my_matrix = np.array([[170, 65], [155, 50]])

# 中身を見てみる
print(my_matrix)

これを実行すると、

[[170 65]

[155 50]]

このように、ちゃんと「表」の形で表示されます。

これも簡単ですね！

Numpyの用語では、このような行列のことを「2次元配列（2-dimensional array）」と呼びます。

タテ（行）とヨコ（列）という「2つの次元」を持つからですね。

（ちなみに、ベクトルは「1次元配列」でした。ヨコに並んでいるだけ、という1つの次元しか持たないからです）

第2章のまとめ

お疲れ様でした！

今日は、線形代数が扱う「データを入れる箱」について学びました。

スカラー：ただの1個の数字。（例：25）
ベクトル（1次元配列）：数字が1列に並んだ「かたまり」。（例：[170, 65]）
行列（2次元配列）：ベクトルがいくつか集まって「表」になったもの。（例：[[170, 65], [155, 50]]）

そして、これらはすべてPython (Numpy) の np.array() という命令で簡単に作れることも分かりましたね。

「箱」の作り方がわかったら、次は何をしたくなりますか？

そう、その「箱」を使って、何か計算をしてみたくなりますよね！

次回、第3章では、いよいよこれらのベクトルや行列を「動かす」方法、つまり「四則演算（足し算や掛け算）」について学んでいきます。

お楽しみに！

Numpyでラクラク計算！ベクトルと行列を「動かす」四則演算

こんにちは。ゆうせいです。

第2章では、線形代数の主役である「ベクトル（1次元配列）」と「行列（2次元配列）」という、データを入れる「箱」の作り方を学びましたね。

np.array() を使って、Numpyで自由に箱を作れるようになったかと思います。

さて、箱を作ったからには、その箱を使って何かしたいですよね？

そこで第3章の今回は、いよいよこれらのベクトルや行列を「動かしてみます」。

つまり、足したり、引いたり、掛けたりする「演算」のルールを、Python (Numpy) のコードと一緒に見ていきましょう！

一番カンタン！足し算と引き算

まずは一番直感的で簡単な、足し算と引き算です。

行列やベクトルの足し算・引き算には、一つだけルールがあります。

それは、「同じ形（サイズ）どうしでないと計算できない」ということです。

例えば、 2行2列の行列A と 2行2列の行列B があるとします。

この2つを足す場合、Numpyは「それぞれの同じ位置にある要素」どうしを足し算します。

Aの「1行目・1列目」 + Bの「1行目・1列目」
Aの「1行目・2列目」 + Bの「1行目・2列目」
...

という具合です。

まるで、同じ形のExcelシートを2枚ピッタリ重ねて、同じセルの数字を足していくようなイメージですね。

Python (Numpy) での書き方は、驚くほど簡単です。

普通に + や - を使うだけ！

import numpy as np

# 2x2の行列A
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
# 2x2の行列B
B = np.array([[10, 20], [30, 40]])

# 足し算
print("A + B =")
print(A + B)

# 引き算
print("A - B =")
print(A - B)

これを実行すると、こうなります。

A + B =
[[11 22]
 [33 44]]
A - B =
[[-9 -18]
 [-27 -36]]

ちゃんと、同じ位置の要素どうしが計算されていますね！

データを一気に拡大・縮小！「スカラー倍」

次は「スカラー倍」です。

「スカラー」という言葉、覚えていますか？

第2章でやりましたね。スカラーとは「単なる1個の数字」のことでした。

「スカラー倍」とは、行列（またはベクトル）の「すべての要素」を、ある1個の数字（スカラー）で掛け算することを言います。

第1章で「写真（という行列）の明るさを一斉に変える」という話をしましたが、あれがまさにスカラー倍のイメージです。

これもNumpyなら超簡単。

普通に * (アスタリスク) を使って、行列に1個の数字を掛けるだけです。

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 行列Aを「10倍」してみる
print("A * 10 =")
print(A * 10)

実行結果：

A * 10 =
[[10 20]
 [30 40]]

一瞬で、すべての要素が10倍されました！

最大の山場？「行列の積」

さあ、ここが第3章のハイライトであり、線形代数が少し難しく感じられる最初のポイント、「行列の積（せき）」です。

ここで注意してほしいことがあります！

先ほどの足し算やスカラー倍と違い、「行列」と「行列」の掛け算は、単純に「同じ位置の要素どうしを掛ける」のとは、まったく違う特別な計算ルールになっているんです。

「え、なんでそんな面倒なルールがあるの？」

それは、この「行列の積」という操作が、AIや3Dグラフィックスなどで「データを変形させる（回転させたり、拡大縮小したりする）」という、とても重要な役割を持っているからです。

手計算の方法は、ここではあえて説明しません。

なぜなら、Numpyが全部やってくれるからです！

私たちは、「行列の積」を実行したいときに、Numpyのどの命令を使えばいいかだけ知っていればOKです。

その命令とは np.dot() です。（ドット、と読みます）

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 行列A と 行列B の「積」を計算する
print("np.dot(A, B) =")
print(np.dot(A, B))

実行結果：

np.dot(A, B) =
[[19 22]
 [43 50]]

[[1 * 5 + 2 * 7, 1 * 6 + 2 * 8], [3 * 5 + 4 * 7, 3 * 6 + 4 * 8]] という複雑な計算（今は覚えなくてOK！）の結果が、一瞬で出てきました。

！超重要：初心者がハマるワナ！

もし、np.dot(A, B) ではなく、A * B と書いてしまったらどうなるでしょう？

A * B は、Numpyでは「同じ位置の要素どうしを掛ける」計算になってしまいます。

これは数学的な「行列の積」とは別物です！

行列どうしの掛け算（積）をしたい時は、必ず np.dot() を使う！

これだけは、しっかり覚えてくださいね。

知っておくと便利！特別な行列たち

最後に、これからの計算でよく登場する「特別な行列」を2つ紹介します。

1. 転置行列（てんちぎょうれつ）

「転置」とは、行列の「行」と「列」を、そっくり入れ替える操作のことです。

（2行3列の行列は、転置すると3行2列になります）

Numpyでは、行列のあとに .T (ピリオドとT) を付けるだけで、一瞬で転置できます。

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) # 2行3列

print("A =")
print(A)

print("A.T = (Aの転置)")
print(A.T) # 3行2列になる

実行結果：

A =
[[1 2 3]
 [4 5 6]]
A.T = (Aの転置)
[[1 4]
 [2 5]
 [3 6]]

タテとヨコが入れ替わりましたね！

2. 単位行列（たんいぎょうれつ）

「単位行列」とは、普通の数字でいう「1」のような存在です。

普通の計算では、どんな数字に「1」を掛けても、答えは変わりませんよね？（例： 5 x 1 = 5）

行列の世界にも、それと同じ役割の行列があり、それを「単位行列」と呼びます。

特徴は、対角線上に「1」が並び、それ以外はすべて「0」であることです。

Numpyでは np.eye() (アイ = 目) という命令で作れます。

import numpy as np

# 3x3の単位行列を作る
I = np.eye(3)

print("I =")
print(I)

実行結果：

I =
[[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

（1. のように . が付いているのは「小数」という意味ですが、今は気にしなくてOKです）

第3章のまとめ

お疲れ様でした！

今日は、行列を「動かす」基本的な方法を学びました。

足し算・引き算：A + B (形が同じである必要あり)
スカラー倍：A * 10 (全要素が10倍される)
行列の積：np.dot(A, B) (特別な計算ルール。A * B とは違う！)
転置行列：A.T (行と列を入れ替える)
単位行列：np.eye(3) (掛け算しても相手を変えない、数字の「1」のような行列)

特に「行列の積」が、手計算とは比べ物にならないほどNumpyで簡単に実行できることが分かったと思います。

さて、道具は揃いました。

次回、第4章では、これらの計算ルールを使って、中学・高校時代に苦戦したかもしれない「連立方程式」を、行列を使って超スマートに解く方法に挑戦します！

お楽しみに。

あの面倒な計算がスッキリ！連立方程式を行列で解く「逆行列」

こんにちは。ゆうせいです。

第3章では、Numpyを使って行列の足し算や掛け算（特に np.dot() が重要でしたね！）といった「演算」の方法を学びました。

道具の使い方はバッチリですね！

さて、計算ルールを学んだら、それを使って何か「意味のあること」をしたくなりますよね？

そこで第4章の今回は、私たちが中学・高校で（もしかすると少し苦戦したかもしれない）「連立方程式」を、行列を使って超スマートに解く方法をご紹介します。

これぞ、線形代数のパワーが実感できる、最初のハイライトです！

懐かしの「連立方程式」、覚えてますか？

こんな問題、見覚えがありませんか？

「2x + y = 4」

「x + 3y = 7」

「このときの x と yの値を求めなさい」

昔は「代入法」とか「加減法」とか言って、片方の式を y = .. の形に変形してもう片方に入れたり、式どうしを足したり引いたりして、 x や y を一つずつ消していく... という、ちょっと面倒なパズルを解いていましたよね。

もちろん、それでも解けます。

でも、もしこれが x, y, zの3つになったら？

a, b, c, d, e の5つだったら...？

考えるだけで頭が痛くなりそうです。

線形代数は、この連立方程式を、もっと「機械的」に、そして「美しく」解くための道具を提供してくれます。

連立方程式を「行列の言葉」で書き直す

カギは、この連立方程式を、第2章・第3章で学んだ「行列」と「ベクトル」の形に書き換えることです。

先ほどの2つの式を、よーく見てください。

登場人物は、「x と y に掛かっている数字（係数）」、「x と y という変数」、「イコールの右側にある数字」の3グループに分けられますよね。

係数のグループA:[[2, 1], [1, 3]]
変数のグループx:[[x], [y]]
結果のグループb:[[4], [7]]

さあ、ここで第3章で学んだ「行列の積（np.dot()）」を思い出してください。

もし、係数A と変数x の行列の積 np.dot(A, x) を計算したら、どうなりますか？

[[2*x + 1*y],

[1*x + 3*y]]

...あれ？

これって、元の連立方程式の「左側」とまったく同じ形だと思いませんか？

つまり、あの連立方程式は、

A $\cdot$ x = b

（行列A とベクトルx の積が、ベクトルb に等しい）

という、たった1行の「行列の方程式」で表現できてしまうんです！

カギは、この連立方程式を、第2章・第3章で学んだ「行列」と「ベクトル」の形に書き換えることです。先ほどの2つの式を、よーく見てください。登場人物は、「 $x$ と $y$ に掛かっている数字（係数）」、「 $x$ と $y$ という変数」、「イコールの右側にある数字」の3グループに分けられますよね。

係数のグループ $A$ ：

変数のグループ $\mathbf{x}$ ：

結果のグループ $\mathbf{b}$ ：

さあ、ここで第3章で学んだ「行列の積（ $\text{np.dot()}$ ）」を思い出してください。もし、係数 $A$ と変数 $\mathbf{x}$ の行列の積 $A \mathbf{x}$ を計算したら、どうなりますか？

...あれ？これって、元の連立方程式の「左側」とまったく同じ形だと思いませんか？つまり、あの連立方程式は、

（行列 $A$ とベクトル $\mathbf{x}$ の積が、ベクトル $\mathbf{b}$ に等しい）という、たった1行の「行列の方程式」で表せます。

割り算の代わり？「逆行列」という魔法

この形まで来れば、ゴールはもうすぐです。私たちが知りたいのは $\mathbf{x}$ （ $x$ と $y$ の値が入ったベクトル）ですよね。もしこれが普通の数字の方程式、例えば「 $5x = 10$ 」だったら、どうしますか？「10を5で割る」と考えますよね。

言い換えると、「 $x = \frac{1}{5} \times 10$ 」という計算をします。この「 $\frac{1}{5}$ 」は、5に掛けると「1」になる、特別な数字です。数学では「逆数（ぎゃくすう）」と呼びました。

行列の世界にも、これとそっくりな考え方があります。それが「逆行列（ぎゃくぎょうれつ）」です！

「逆行列」とは、元の行列 $A$ に掛けると、なんと第3章で学んだ「単位行列 $I$ （数字の1みたいなヤツ）」になる、という魔法のような行列のことです。（ $A$ の逆行列を $A^{-1}$ と書きます）

この逆行列 $A^{-1}$ を使うと、先ほどの $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ を、こうやって解くことができます。

やりました！つまり、私たちが欲しかった答え $\mathbf{x}$ は、

という計算で求められることが分かりました。

Pythonにおまかせ！一発で解を求める

「ちょっと待って！逆行列 A^{-1} とか、どうやって計算するの？そっちの方が面倒くさそう！」

その通りです。

逆行列を手計算で求めるのは、連立方程式をそのまま解くより、何倍も何十倍も面倒です。

ですが、思い出してください。私たちは何のためにPython (Numpy) を使っているんでしたっけ？

そう、「面倒な計算は、すべてコンピュータに任せるため」ですよね！

Numpyには、この A \cdot x = b の形の方程式を、一発で解いてくれる超便利な命令が用意されています。

それは np.linalg.solve() です！

（linalg は "Linear Algebra" = 線形代数の略、solve は「解く」です。そのまんまですね！）

使い方は、信じられないほど簡単です。

import numpy as np

# 係数行列 A
A = np.array([[2, 1], [1, 3]])

# 結果のベクトル b
# (Numpyは賢いので、[4, 7]と1次元で書いてもOK)
b = np.array([4, 7])

# これだけで、連立方程式 A * x = b を解いてくれる！
x = np.linalg.solve(A, b)

print("解 (xとyの値) =")
print(x)

これを実行すると、どうなるでしょう？

解 (xとyの値) =
[1. 2.]

...出ました！

これは [x の値, y の値] というベクトルを意味しています。

つまり、「x = 1」「y = 2」という答えを、Numpyが一瞬で叩き出してくれたのです！

確かに合っていますね！

第4章のまとめ

お疲れ様でした！

今回は、線形代数の強力な「応用例」を体験しました。

連立方程式は、A $\cdot$ x = b という行列の方程式で書ける。
この方程式は、「逆行列」 $A^{-1}$ を使えば、x = $A^{-1} \cdot$ b として解ける。
でも、逆行列の手計算は地獄...。
だからPython (Numpy) を使う！ np.linalg.solve(A, b) と書くだけで、一瞬で答え x が手に入る！

どんなに複雑な連立方程式も、この np.linalg.solve() に放り込んでしまえば、コンピュータが正確に解いてくれます。

これが、数学の理論とプログラミングが組み合わさったときの、すさまじいパワーです。

さて、方程式が解けるようになりました。

次回、第5章では、いよいよ線形代数の「ラスボス」とも言える、AIやデータ分析の「本質」に迫る、超重要概念「固有値（こゆうち）」と「固有ベクトル（こゆうべくとる）」に挑戦します！

お楽しみに。

データの「本質」を見抜く力 - 固有値と固有ベクトルというラスボス

こんにちは。ゆうせいです。

ついに、このテキストの「ラスボス」とも言える章にたどり着きました！

第4章では、np.linalg.solve() を使って、面倒な連立方程式をPythonに解かせる方法を学びましたね。

今回、第5章で扱うのは、AIやデータサイエンスの世界で最も重要と言っても過言ではない、「固有値（こゆうち）」と「固有ベクトル（こゆうべくとる）」です。

「...名前からして、もう難しそう」

「ついに意味が分からない言葉が出てきた...」

大丈夫です！

この2つが「何者」で、「なぜAIや顔認識で大活躍しているのか」、その「本質的なイメージ」を掴むことが目標です。

複雑な数式はNumpyに任せて、私たちはその「心」を理解しにいきましょう！

固有値と固有ベクトルって、聞いたことありますか？

この2つの言葉は、行列と非常に深い関係があります。

まずは、この2つが「ペア」で使われる、ということを知っておいてください。

（専門用語解説：行列の「本当の姿」を暴くペア）

第3章で、行列は「データを変形させる（回転させたり、拡大縮小したりする）」役割がある、という話を少ししました。

例えば、ある行列Aは、「データを反時計回りに90度回転させる」という「性質」を持っているかもしれません。

ここで、行列Aに、いろんな方向のベクトルを掛け算（np.dot(A, v)）してみることを想像してください。

ほとんどのベクトルは、元の方向とは「違う方向」にビュンと飛ばされてしまいます。

...ですが！

その行列Aにとって、ごく一部に「特別な方向」のベクトルが存在します。

その「特別なベクトル」にAを作用させても、なんと「方向が変わらない」のです！

ただ、そのベクトルの「大きさ（長さ）」だけが、ビュッと伸びたり、キュッと縮んだりするだけ...。

この、行列Aにとって「特別な方向」を示し、掛け算しても方向が変わらないベクトルのことを、「固有ベクトル (Eigenvector)」と呼びます。

そして、その固有ベクトルの「大きさが何倍になったか」を示す、「伸び縮みの倍率」のことを、「固有値 (Eigenvalue)」と呼びます。

固有ベクトル：その行列が持つ「特別な方向性」。
固有値：その「特別な方向」に、どれだけの影響力（伸び縮み）があるか。

固有値が「大きい」ほど、その固有ベクトルが示す方向は、その行列にとって「重要」で「影響力が強い」方向であることを意味します。

一体なんの役に立つの？

「方向が変わらないのが、そんなに偉いの？」

「それが顔認識とどう繋がるの？」

素晴らしい疑問です！

固有値と固有ベクトルがスゴイのは、「データの『本質』や『最も重要な特徴』を見つけ出す」ことができるからです。

（例え話：顔認識（主成分分析）への応用）

第1章で、写真は「数字の巨大な行列」だという話をしました。

では、「人間の顔」の写真だけを1000枚集めてきたら、どうなるでしょう？

それらの「顔データ」には、何か共通する「特徴」がありそうですよね。

「目の位置」
「鼻の形」
「輪郭」

...などです。

ただ、これらの特徴は無数にあり、どれが「顔」を「顔たらしめている」最も重要な特徴なのか、パッと見ではわかりません。

ここで、固有値・固有ベクトルの出番です。

（正確には「主成分分析(PCA)」という手法を使います）

集めた1000枚の顔データを巨大な行列として扱い、その「固有値」と「固有ベクトル」を計算します。

すると、何が起こるか...

固有値が大きい順に、顔の「最も重要な特徴のパターン」が「固有ベクトル」として取り出せるのです！
1番目の固有ベクトル（固有値が最大）：顔の「最も大雑把な特徴」（例：全体の明るさや輪郭）
2番目の固有ベクトル：次に重要な特徴（例：目や鼻の位置関係）
3番目の固有ベクトル：...
...
100番目の固有ベクトル（固有値が小さい）：すごく細かい特徴（例：肌の小さなシミ、ノイズ）

このようにして取り出された「顔の基本的な特徴ベクトル」のことを、その名も「固有の顔 (Eigenface)」と呼びます。

つまり、固有値・固有ベクトルを調べることで、たくさんの顔データの中から「『顔らしさ』を構成するメインパーツ」だけを抽出できるのです！

これにより、少ないデータ量で顔を表現したり（データ圧縮）、新しい顔写真が「誰」なのかを比較したり（顔認証）することが可能になります。

Pythonで固有値・固有ベクトルを求めてみよう！

さあ、この「固有値・固有ベクトル」という、行列に隠された「本質」を暴く計算...

もちろん、手計算でやろうとすると、大学の試験問題レベルの難解さです。

ですが、私たちにはNumpyがありますね！

Numpyには、これを一発で計算してくれる命令 np.linalg.eig() が用意されています。

（eig は Eigenvalue / Eigenvector の略です）

import numpy as np

# 2x2の簡単な行列Aを作ってみます
A = np.array([[4, 2],
              [1, 3]])

# これだけで、固有値と固有ベクトルが計算できる！
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

print("Aの固有値 (Eigenvalues) =")
print(eigenvalues)

print("\nAの固有ベクトル (Eigenvectors) =")
print(eigenvectors)

これを実行すると、こうなります。

Aの固有値 (Eigenvalues) =
[5. 2.]

Aの固有ベクトル (Eigenvectors) =
[[ 0.89442719 -0.70710678]
 [ 0.4472136   0.70710678]]

（ちょっと見慣れない小数が出てきますが、気にしないでください）

これは、

この行列Aには、2つの「固有値」があります。それは「5」と「2」です。
「5」に対応する「固有ベクトル」（特別な方向）は、[0.894..., 0.447...] という方向です。
「2」に対応する「固有ベクトル」は、[-0.707..., 0.707...] という方向です。

という意味になります。

（eigenvectors の行列は、「列」ごとに1つの固有ベクトルが入っていることに注意してください）

このように、どんなに複雑な行列でも、np.linalg.eig(A) と唱えるだけで、その行列が持つ「本質的な方向（固有ベクトル）」と「その方向の重要度（固有値）」を、瞬時に抜き出すことができるのです！

第5章のまとめ

お疲れ様でした！

ついにラスボスを倒しました！

固有ベクトル：行列が持つ「特別な方向」。作用させても方向が変わらない。
固有値：固有ベトルの「伸び縮みの倍率」。その方向の「重要度」や「影響力」を示す。
なんの役に立つ？：データの「本質」や「最も重要な特徴」を見つけ出すことができる。（例：顔認識の「固有の顔」）
Pythonでは？：手計算は不可能！ np.linalg.eig(A) を使えば一瞬で求まる。

この「固有値・固有ベクトル」という考え方は、データ分析、AI、画像処理、検索エンジン（Googleのページランク！）、量子力学に至るまで、科学のあらゆる分野で使われている、超・超・強力なツールです。

これで、Pythonで学ぶ線形代数の「核」となる部分は、すべて学び終えました！

次回、いよいよ最終章となる第6章では、このテキスト全体を振り返り、皆さんが「次」に何を学ぶべきか、その「未来へのロードマップ」を示して締めくくりたいと思います。

最後まで、よろしくお願いします！

ここからが本番！線形代数を「武器」にするための未来ロードマップ

こんにちは。ゆうせいです。

ついに、この「Pythonで学ぶ線形代数」シリーズの最終章、第6章へようこそ！

第1章で「線形代数って何？」というところから始まり、第5章では「固有値」というラスボスまで、本当にお疲れ様でした。

ここまでたどり着いたあなたは、

ベクトルや行列という「箱」の作り方 (np.array)
その「箱」を動かす計算ルール (+, np.dot)
方程式を解く魔法 (np.linalg.solve)
データの「本質」を見抜く力 (np.linalg.eig)

これら線形代数の「核」となる部分を、すべてPython (Numpy) で実行できるようになったはずです。

もうあなたは、立派な「線形代数をコードで操れる人」です！

この最終章では、このテキストで得た知識を「点」から「線」へ、そして「武器」へと変えていくための、次なるステップ（学習の指針）をお話しします。

6-1. 次に何を学ぶべきか？

Numpyで線形代数の「部品」の作り方を学びました。

次は、その部品を使って「完成品」を作るステップに進みましょう！

1. 主成分分析 (PCA) への挑戦

第5章で「固有の顔 (Eigenface)」という例え話をしました。

あの「データの最も重要な特徴を抽出する」という強力なテクニックは、「主成分分析（しゅせいぶんぶんせき / PCA: Principal Component Analysis）」と呼ばれる、れっきとしたデータ分析手法です。

これは、まさに「固有値・固有ベクトル」の計算をそのまま応用したものです！

「なぜ固有値・固有ベクトルを学ぶのか？」という問いに対する、最も直接的でパワフルな答えの一つが、このPCAです。

たくさんの特徴（例えば、身長、体重、年齢、血圧...など）を持つデータを、PCAを使って「最も重要な2つか3つの特徴」にギュッと圧縮することで、データをグラフで可視化したり、AIの学習を高速化したりできます。

2. 機械学習ライブラリ「Scikit-learn」との連携

Numpyが、線形代数の計算を実行する「高性能エンジン」だとすれば、「Scikit-learn（サイキット・ラーン）」は、そのエンジンを積んだ「AI・機械学習用の完成車」のようなライブラリです。

例えば、先ほど紹介した「PCA」を実行したい！と思ったとき、

Numpyだけでやろうとすると、固有値・固有ベクトルを計算して、データを並べ替えて...と、第5章で学んだことを全部自分で組み立てる必要があります。

しかし、Scikit-learnを使えば、

from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=2) # 「2つの主な特徴」に圧縮
pca.fit_transform(my_data)

...と、たったこれだけのコードで、PCAの実行からデータの変換まで、すべてを自動でやってくれます！

Numpyで「なぜそうなるのか（固有値）」という理論の裏側を理解し、Scikit-learnで「どう使うのか」という実践的なテクニックを学ぶ。

この両輪が揃うことで、あなたのスキルは一気にジャンプアップしますよ！

6-2. 数学とプログラミング、両方楽しむための心構え

「やっぱり数学は難しい...」

「コードは書けるけど、理論が...」

多くの人がこのジレンマに陥ります。

大切な心構えは、「どっちから始めてもいいし、行ったり来たりしていい」ということです。

コードが動けばOK！数学的な証明が完璧にわからなくても、まずは np.linalg.solve で連立方程式が解けた！という「動いた！」の感動を大切にしてください。動かしてから「なんで解けたんだろう？」と理論に戻るのも、立派な学習です。
理論が分かればOK！「固有値って、データの『本質』のことなんだな」というイメージが掴めたら、Numpyの np.linalg.eig が、まるで「本質を見抜く魔法の杖」のように見えてきませんか？

数学（理論）は「なぜ」を、プログラミング（実践）は「どうやって」を教えてくれます。

両方を行ったり来たりしながら、ジグソーパズルを埋めるように理解を深めていくのが、一番楽しくて効率的な学び方です！

6-3. おすすめの学習リソース紹介

最後に、この次にあなたが手にとってみると良いかもしれない「地図」の例をいくつか紹介します。

専門書や技術書「Pythonによるデータ分析入門（オライリーの本）」などは、NumpyやPandas（Excelの表のようなデータを扱うライブラリ）のバイブルです。
オンライン学習プラットフォームUdemy, Coursera, Progate, Schooなど、動画で「機械学習」や「データサイエンス」の入門講座を見てみると、今日まで学んだ線形代数が、Scikit-learnと一緒に「動いている」姿を見ることができます。
Kaggle（カグル）などのデータ分析コンペいきなり参加しなくても、「他の人がどうやってデータを分析しているか」のコード（ノートブックと呼ばれます）を眺めるだけでも、NumpyやScikit-learnの「実践的な使い方」の宝庫です。

最後のメッセージ

全6章の旅、本当にお疲れ様でした！

「線形代数」という、AIやデータサイエンスの「土台」を支える最も重要な柱の一つを、あなたは手に入れました。

もう、あなたは「なんだか難しそうな数学」と怖気付いていた、第1章のあなたではありません。

np.array も np.dot も np.linalg.eig も、すべてはあなたの「道具箱」に入っています。

ぜひ、その道具を使いこなし、データを読み解き、新しい何かを創り出す「次のステップ」へ進んでいってください。

あなたのこれからの学びを、心から応援しています！

線形代数って、結局なに？

なぜ「Python」で学ぶの？コンピュータに計算させるメリット

準備運動：PythonとNumpyのセットアップ

第1章のまとめ

Pythonでデータを「箱」に入れる魔法 - ベクトルと行列の世界

「ベクトル」って何？

Python (Numpy) でベクトルを作ってみよう！

「行列」って何？

Python (Numpy) で行列を作ってみよう！

第2章のまとめ

Numpyでラクラク計算！ベクトルと行列を「動かす」四則演算

一番カンタン！足し算と引き算

データを一気に拡大・縮小！「スカラー倍」

最大の山場？「行列の積」

知っておくと便利！特別な行列たち

1. 転置行列（てんちぎょうれつ）

2. 単位行列（たんいぎょうれつ）

なぜ、np.eye()なのか？

第3章のまとめ

あの面倒な計算がスッキリ！連立方程式を行列で解く「逆行列」

懐かしの「連立方程式」、覚えてますか？

連立方程式を「行列の言葉」で書き直す

割り算の代わり？「逆行列」という魔法

Pythonにおまかせ！一発で解を求める

第4章のまとめ

データの「本質」を見抜く力 - 固有値と固有ベクトルというラスボス

固有値と固有ベクトルって、聞いたことありますか？

一体なんの役に立つの？

Pythonで固有値・固有ベクトルを求めてみよう！

第5章のまとめ

ここからが本番！線形代数を「武器」にするための未来ロードマップ

6-1. 次に何を学ぶべきか？

1. 主成分分析 (PCA) への挑戦

2. 機械学習ライブラリ「Scikit-learn」との連携

6-2. 数学とプログラミング、両方楽しむための心構え

6-3. おすすめの学習リソース紹介

最後のメッセージ

セイ・コンサルティング・グループの新人エンジニア研修のメニューへのリンク

補講3 AI時代の「数学」をPythonで始めよう！線形代数の第一歩

線形代数って、結局なに？

なぜ「Python」で学ぶの？ コンピュータに計算させるメリット

準備運動：PythonとNumpyのセットアップ

第1章のまとめ

Pythonでデータを「箱」に入れる魔法 - ベクトルと行列の世界

「ベクトル」って何？

Python (Numpy) でベクトルを作ってみよう！

「行列」って何？

Python (Numpy) で行列を作ってみよう！

第2章のまとめ

Numpyでラクラク計算！ベクトルと行列を「動かす」四則演算

一番カンタン！ 足し算と引き算

データを一気に拡大・縮小！「スカラー倍」

最大の山場？「行列の積」

知っておくと便利！特別な行列たち

1. 転置行列（てんちぎょうれつ）

2. 単位行列（たんいぎょうれつ）

なぜ、np.eye()なのか？

第3章のまとめ

あの面倒な計算がスッキリ！連立方程式を行列で解く「逆行列」

懐かしの「連立方程式」、覚えてますか？

連立方程式を「行列の言葉」で書き直す

割り算の代わり？「逆行列」という魔法

Pythonにおまかせ！一発で解を求める

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データの「本質」を見抜く力 - 固有値と固有ベクトルというラスボス

固有値と固有ベクトルって、聞いたことありますか？

一体なんの役に立つの？

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6-1. 次に何を学ぶべきか？

1. 主成分分析 (PCA) への挑戦

2. 機械学習ライブラリ「Scikit-learn」との連携

6-2. 数学とプログラミング、両方楽しむための心構え

6-3. おすすめの学習リソース紹介

最後のメッセージ

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一番カンタン！足し算と引き算