定理と公理の違い

2024年11月4日 2024年11月4日山崎講師

山崎講師

定理と公理はどちらも数学や論理の世界で重要な概念ですが、役割や意味が異なります。これらを理解すると、数学的な思考がより明確になります。ここでは、定理と公理の違いについて、わかりやすく解説していきます。

定理とは？

定理とは、証明を通じて成り立つことが確定された命題のことです。証明という手続きを経て、その命題が論理的に正しいことが示されています。つまり、「定理」は他の事実や法則を使って正しいと認められた「結論」として存在しています。

定理の特徴

証明が必要: 定理は、すでに正しいと認められた事実（定理や公理など）を使って、論理的に証明される必要があります。証明とは、仮定から結論に至る道筋を理論的に説明することです。
具体的な内容: 定理は何か具体的な法則や関係性を述べていることが多く、実際の計算や理論の基盤となります。
再利用されることが多い: 証明が完了した定理は、新しい定理や理論を構築するための「道具」として再利用されます。

定理の例

例えば、ピタゴラスの定理は、直角三角形における辺の関係を表す有名な定理です。

ここで (a) と (b) は直角三角形の直角を挟む辺、(c) は斜辺（対角線）です。この定理は、何度も証明されており、数学や物理の多くの場面で使われます。

公理とは？

公理は、証明を必要とせずに「初めから正しいもの」として受け入れられる前提のことです。つまり、証明を求めずに「当たり前の事実」としてスタートする「土台」のようなものです。公理は、それ自体が明らかであるため、さらに遡って説明する必要がありません。

公理の特徴

証明不要: 公理は最初から「成り立つもの」として扱われるため、証明を必要としません。
基盤的な性質: 数学の理論や体系の「基盤」として位置づけられ、他の事実や命題の出発点となります。
他の定理の証明に使われる: 公理は、他の定理や法則を証明する際に利用されます。公理が正しいことを前提に、他の論理を積み重ねていくわけです。

公理の例

ユークリッド幾何学では、「2点を通る直線はただ1本しかない」というのが代表的な公理の一つです。この「公理」は証明されていませんが、直感的に「当たり前」なものとして受け入れられ、多くの幾何学的な定理の基盤となっています。