【初心者エンジニア向け】ベクトル空間と次元数の関係
山崎講師
こんにちは。ゆうせいです。
今日は「ベクトル空間と次元数の関係」についてお話しします。
「次元ってよく聞くけど、結局ベクトル空間とどう関係してるの？」という疑問、よく出てきます。
このテーマをしっかり理解できると、機械学習・統計・線形代数などの土台がぐっと強くなります！
では、図や例を使いながら、初心者の方でも納得できるように丁寧に説明していきますね。
ベクトル空間と次元：ざっくり言うと？
まず、一言で言うと、
ベクトル空間の「次元数」とは、その空間を表すのに必要な独立なベクトルの数です。
ちょっと抽象的ですね。
でも大丈夫。ここからは、例と図で一つひとつ分解していきます！
ベクトル空間とは？
「ベクトル空間」は、ベクトル（向きと大きさをもつ量）で表される数学的な空間のことです。
よくある例：
- 1次元空間：数直線（たとえば「5」や「−3」などの数）
- 2次元空間：平面（x軸とy軸）
- 3次元空間：立体（x, y, z）
これらは、いずれも「ベクトルの集合」として考えることができます。
「次元」ってなに？
「次元」とは、その空間で位置を表すために必要な軸（＝独立な方向）の数です。
たとえば：
- 1次元：xだけでOK → 直線上
- 2次元：xとy → 平面
- 3次元：x, y, z → 空間
この「軸」に対応するのが「基底（きてい）ベクトル」と呼ばれるものです。
図で理解しよう！
たとえば、2次元空間を表すためには、以下のような2つのベクトルが必要です。
- ベクトル①：右方向（1, 0）
- ベクトル②：上方向（0, 1）
この2つのベクトルを使えば、どんな点（たとえば (2, 3)）も表現できますよね？ (2,3)=2⋅(1,0)+3⋅(0,1)(2, 3) = 2 \cdot (1, 0) + 3 \cdot (0, 1)
これこそが「2つの独立なベクトル → 2次元空間」という意味なんです。
数式で表すと？
次元を定義する数式的な視点では、次のように表現されます。 次元=線形独立なベクトルの最大数\text{次元} = \text{線形独立なベクトルの最大数}
これを日本語で言い換えると：
「他のベクトルの足し算や掛け算では作れないベクトルの数が、その空間の次元」
例：
- (1, 0) と (0, 1) → 互いに独立 → 2次元
- (1, 0) と (2, 0) → 実は同じ方向 → 1次元しか表せない
機械学習との関係
ここで質問です。
なぜベクトル空間や次元数が機械学習で重要なんでしょうか？
答えはこうです：
機械学習における次元とは？
データ1つ1つは、特徴量の値を並べたベクトルとして扱われます。
たとえば、
| 特徴量名 | 値 |
|---|---|
| 身長 | 170 |
| 体重 | 60 |
| 年齢 | 25 |
このデータは、ベクトル（170, 60, 25）として、3次元空間上の点になります。
つまり、特徴量の数＝ベクトル空間の次元数なんです！
次元が高いとどうなる？（高次元空間）
このように、特徴量をたくさん持てば、どんどん次元が上がっていくことになります。
- 10個の特徴量 → 10次元空間
- 1000個の特徴量 → 1000次元空間
このような空間のことを、高次元空間（こうじげんくうかん）と呼びます。
ただし注意！
- 次元が増えると、計算が重くなる
- 「次元の呪い（Curse of Dimensionality）」という現象も起きる
つまり、高次元になるとモデルの学習や予測が難しくなる場合があるので、次元削減（Principal Component Analysisなど）という技術も必要になります。
まとめ：ベクトル空間と次元の関係
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| ベクトル空間 | ベクトル同士の演算ができる集合 |
| 次元 | 必要な独立なベクトルの数（＝基底の数） |
| 特徴量 | 入力データの項目（＝次元と一致する） |
つまり、次元とは「空間の自由度」であり、どのくらいの情報を表せるかを示す重要な指標です。
今後の学習の指針
「次元」と「ベクトル空間」の関係をより深く理解するには、以下のステップがおすすめです：
- 実際に2次元・3次元ベクトルを紙に書いて足し算してみる
- 線形独立とは何かを具体例で確認（例：(1,0)と(1,1)は独立？）
- 主成分分析（PCA）や次元削減手法に触れてみる
- 高次元空間での距離や類似度の概念を学んでみる
「数学は図で直感的に捉える！」が大事です。必要なら図もお見せできますので、いつでも声かけてください！
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投稿者プロフィール
- 代表取締役
-
セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
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