「なぜ分散は p(1-p) なのか？」数式の意味が直感でわかる！新人エンジニアのための確率統計教室

2026年1月16日 2026年1月16日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

前回の記事では、ベルヌーイ分布の確率の式が「実はただのスイッチだ」というお話をしました。

今回はその続き、少しレベルアップして「分散（ぶんさん）」の話をしましょう。

統計学の教科書を開くと、ベルヌーイ分布の分散の公式はこう書かれています。

$p(1-p)$

非常にシンプルですよね。

でも、ふと疑問に思いませんか。

「なんで確率 $p$ と、失敗する確率 $1-p$ を掛け算するだけで『ばらつき』が求まるの？」と。

通常の分散の計算といえば、平均を引いて、二乗して、また平均して…と、もっと面倒な手順が必要なはずです。

実はこのシンプルな数式には、「予測のしにくさ」を表す深い意味が込められているのです。

今日は、この数式がなぜこうなるのか、そしてこの数式が何を物語っているのかを、数式アレルギーの方にもわかるように解説します。

そもそも「分散」って何だっけ？

数式に入る前に、言葉の定義をおさらいしておきましょう。

分散とは、データの「ばらつき具合」を表す指標です。

エンジニアの言葉で言えば、「結果の読めなさ」あるいは「ギャンブル性の高さ」と言い換えてもいいでしょう。

分散が大きい $=$ 次に何が出るか予想しにくい（リスクが高い）

分散が小さい $=$ 次に出る結果がほぼわかっている（安定している）

これを頭の片隅に置いておいてください。

数式を解剖する（意外と簡単！）

では、なぜ $p(1-p)$ になるのか。

数学的な証明は、実は驚くほどあっさりしています。

ここでは、「分散 $=$ （2乗の平均） $-$ （平均の2乗）」という、統計学の有名な便利公式を使って証明します。

ついてきてくださいね。3ステップで終わります。

ステップ1：平均（期待値）を求める

ベルヌーイ分布は、確率 $p$ で「 $1$ 」（成功）、確率 $1-p$ で「 $0$ 」（失敗）が出る世界でした。

平均値（期待値 $E[X]$ ）は、出る数とその確率を掛けて足すだけです。

$1 \times p + 0 \times (1-p) = p$

つまり、平均は $p$ です。これは直感的ですね。

ステップ2：2乗の平均を求める

ここがマジックの種明かしです。

分散を求めるために、出る数を「2乗」して平均を取ります。

でも考えてみてください。

$1$ は2乗しても $1$ 。

$0$ は2乗しても $0$ 。

そう、ベルヌーイ分布の世界では「2乗しても値が変わらない」のです！

だから、計算式はステップ1と全く同じになります。

$1^2 \times p + 0^2 \times (1-p) = p$

「2乗の平均」も $p$ になりました。

ステップ3：公式に当てはめる

最後に、便利公式「（2乗の平均） $-$ （平均の2乗）」に当てはめます。

$p - p^2$

これを $p$ でくくると…？

$p(1-p)$

はい、完成です！

あの面倒な分散の計算が、こんなにシンプルになる理由は、「0と1しか出ないから、2乗しても計算結果が変わらない」というベルヌーイ分布特有の性質のおかげだったのです。

エンジニアの直感で理解する「グラフの山」

数式の導出はわかりましたが、もっと大事なのは「意味」です。

この $p(1-p)$ という式、 $p$ （成功確率）がいくつの時に最大になるでしょうか。

二次関数のグラフをイメージしてみてください。

$y = x(1-x)$ というグラフは、 $x = 0.5$ のときにお椀を伏せたような山の頂上（最大値）になります。

これを確率の話に戻しましょう。

ケースA：確率 $p = 0.5$ （公平なコイン）

$0.5 \times (1-0.5) = 0.25$

分散は「最大」になります。

これは直感と合っていますか？

半々の確率というのは、表が出るか裏が出るか、もっとも「予想がしにくい」状態ですよね。つまり、ばらつき（不確実性）がMAXなのです。

ケースB：確率 $p = 0.9$ （イカサマコイン）

$0.9 \times (1-0.9) = 0.09$

分散は「小さく」なりました。

9割表が出るとわかっているなら、「次は表だろう」と予想しやすいですよね。つまり、ばらつきは小さいのです。

ケースC：確率 $p = 1.0$ （表しか出ないコイン）

$1.0 \times (1-1.0) = 0$

分散は「ゼロ」です。

結果が完全に決まっているので、ばらつきようがありません。

いかがですか。

$p(1-p)$ という数式は、単なる記号の羅列ではなく、「勝負が五分五分のときほど、結果は荒れる（分散が大きくなる）」という世の中の真理を美しく表しているのです。

メリットとデメリット

この公式を理解しておくと、機械学習やデータ分析でどんな良いことがあるのでしょうか。

メリット

モデルの「自信」を測れる

機械学習の分類問題（例えば、この画像は猫か犬か）では、予測確率 $p$ が出力されます。

このとき、 $p(1-p)$ を計算すれば、そのモデルがどれくらい迷っているか（不確実性が高いか）を数値化できます。 $0.5$ に近ければ迷っており、 $0$ や $1$ に近ければ自信満々というわけです。

計算コストが激安

平均値を引いて2乗して…というループ処理を回さなくても、確率 $p$ さえわかれば一発で分散が出せます。ビッグデータを扱うエンジニアにとって、この軽さは正義です。

デメリット（注意点）

あくまで「2択」の世界限定

この公式が使えるのは、結果が0か1のときだけです。サイコロ（1〜6）のように値自体に大きさがある場合は使えません。

標準偏差と混同しやすい

分散は「2乗された単位」を持っています。実際のばらつきの幅を知りたいときは、ルート（平方根）をとって標準偏差 $\sqrt{p(1-p)}$ に戻すのを忘れないでください。

今後の学習の指針

ベルヌーイ分布の分散 $p(1-p)$ 。

それは、「2乗しても変わらない」という数字のマジックと、「五分五分が一番読めない」という直感が組み合わさった、とても美しい数式でした。

もし現場で「このシステムのバグ発生率は $50\%$ だ」なんて言われたら、それは単に半分壊れているというだけでなく、「一番挙動が読めなくて厄介な状態（分散最大）だ」と翻訳できるようになれば、あなたはもう立派なデータサイエンティストの入り口に立っています。

これからの学習の指針として、次は「ポアソン分布」の分散を調べてみてください。

なんと、ポアソン分布では「平均」と「分散」が全く同じ値になるという、さらに不思議な性質を持っています。

なぜそんなことが起きるのか、その謎解きもきっと面白いですよ。

それでは、また次回の講義でお会いしましょう！

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
この記事に間違い等ありましたらぜひお知らせください。

学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。