数学の壁を突破！対数の微分を定義から紐解く驚きのプロセス

2026年2月22日 最終更新日時 : 2026年2月22日 山崎講師山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

数学の勉強をしていて、公式を丸暗記しようとして頭がパンクしそうになったことはありませんか？特に「対数の微分」は、初見では少し複雑に見えるかもしれません。

しかし、微分というのは「ある瞬間の変化の割合」を見つけるための道具に過ぎません。今回は、その正体を「定義」という基本に立ち返って、一緒に解き明かしていきましょう！

微分の定義という「物差し」を準備しよう

まず、どんな関数であっても微分の基本となる形があります。それが微分の定義式です。

関数 f(x) の導関数 f'(x) は、次のような極限の式で表されます。

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

これは、グラフの上の2点の間隔を限りなくゼロに近づけたときの「坂道の傾き」を求めているだけなんです。顕微鏡でグラフをどんどんズームアップしていく様子をイメージしてください。

自然対数の微分を定義通りに計算してみる

では、本題の対数関数 f(x) = \log x をこの定義に当てはめてみましょう。計算の途中で、対数の性質である「引き算は割り算になる」というルールを思い出してくださいね。

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log(x+h) - \log x}{h}

= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log \frac{x+h}{x}

= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log ( 1 + \frac{h}{x} )

ここで、少し工夫が必要です。数学の世界には、ネイピア数 e という特別な定数があります。この e の定義を利用するために、式をさらに変形させていきます。

\frac{h}{x} = k と置くと、 h \to 0 のとき k \to 0 となります。

f'(x) = \lim_{k \to 0} \frac{1}{xk} \log ( 1 + k )

= \frac{1}{x} \lim_{k \to 0} \log ( 1 + k )^{ \frac{1}{k} }

この ( 1 + k )^{ \frac{1}{k} } の部分こそが、まさに e の正体なのです！

魔法の数字 ネイピア数 e

さて、ここで重要な専門用語、ネイピア数について解説します。

ネイピア数とは、無理数の一つで約 2.718... という値を持つ定数です。高校生の方なら「複利計算の限界値」と考えると分かりやすいかもしれません。

お金を預けて、利息がつくタイミングをどんどん細かく（1ヶ月、1日、1秒...）していくと、最終的にある一定の値に近づきます。それがこの e です。

対数の微分において、この e を底とする「自然対数」を扱うと、計算結果が驚くほどシンプルになります。

先ほどの計算を最後まで進めると、次のようになります。

f'(x) = \frac{1}{x} \log e

自然対数では \log e = 1 ですから、最終的な答えはこうなります。

f'(x) = \frac{1}{x}

対数の微分を学ぶメリットとデメリット

この公式を知っていると、どんな良いことがあるのでしょうか？

項目内容
メリット複雑な掛け算や割り算の関数を、対数をとることで「足し算・引き算」に変えて簡単に微分できる（対数微分法）。
デメリット底が e 以外の数字（例えば 10 など）の場合、最後に補正の係数をかけ忘れてミスをしやすい。

このように、対数の微分は難しい計算をショートカットするための強力な武器になります。

これからの学習の指針

いかがでしたか？「なぜそうなるのか」という定義から出発すると、ただの記号の羅列だった公式にストーリーが見えてきませんか？

今後の学習としては、以下のステップに挑戦してみてください。

  1. 底が a の場合の対数関数の微分を、自分で導いてみる
  2. 「対数微分法」を使って、複雑な関数の微分を解いてみる
  3. ネイピア数 e が登場する他の分野（積分や物理現象）を覗いてみる

一歩ずつ進んでいけば、数学は必ずあなたの味方になってくれます。

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投稿者プロフィール

山崎講師
山崎講師代表取締役
セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
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学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。
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新人エンジニア研修講師
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