【割り算で“信頼”を更新する：ベイズ統計と事後確率のしくみ】

2025年7月11日 2025年7月11日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

前回は、情報理論の中にある割り算――とくにKLダイバージェンスが「確率のズレ」を比率として測るという話をしましたね。

今回は、そこからさらに一歩進んで、「ベイズ統計（Bayesian statistics）」の世界を見ていきましょう。

実は、ベイズの考え方は非常に日常的です。
私たちは何気なく、「何かを観測して、信じていることをアップデートする」――そんな行動を毎日しています。

その仕組みを、数式で、割り算で、論理的に整理したものが「ベイズの定理」なのです！

1. ベイズ統計とは？

ベイズ統計とは、「事前の信頼」と「新しい証拠」を組み合わせて、「更新された信頼」を導くという考え方です。

つまり：

● もともと〇〇だと思っていたけど
● 実際に△△を観測したから
● 今は□□と思うようにした

こうした思考のアップデートを、確率と割り算で表現していきます。

2. ベイズの定理の式

まずは、超基本であるベイズの定理を確認しましょう。

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$
（ピーエー条件付きビーは、ビー条件付きエー×ピーエー、わることのピービー）

この式は、次のように読むことができます：

項目	意味
$P(A	B)$
$P(B	A)$
$P(A)$	Aが起きる前の信頼（事前確率）
$P(B)$	Bが観測される全体の確率（正規化項）

3. 割り算の意味とは？

この式のポイントは、分母にあるP(B)で割っているという点です。

なぜ割るのか？

→ 「全体に対して、自分の仮説がどれくらい説明力を持っているか？」
つまり、“信頼できる理由の比率”を示すために割り算が使われているのです。

4. 例で理解しよう！

【例：風邪かインフルか？】

あなたが熱を出しました。
そこで「風邪」か「インフルエンザ」かを考えます。

インフルの事前確率：10％（P(flu) = 0.1）
熱が出る確率：
　- インフルなら90％（P(fever|flu) = 0.9）
　- 風邪なら30％（P(fever|cold) = 0.3）
全体の熱発生確率P(熱)はどうなる？

ベイズの定理で「インフルの可能性」を計算：

$P(\text{flu}|\text{fever}) = \frac{P(\text{fever}|\text{flu}) \cdot P(\text{flu})}{P(\text{fever})}$

P(fever)は全体として：

$P(\text{fever}) = 0.9 \cdot 0.1 + 0.3 \cdot 0.9 = 0.09 + 0.27 = 0.36$

なので：

$P(\text{flu}|\text{fever}) = \frac{0.9 \times 0.1}{0.36} = \frac{0.09}{0.36} = 0.25$

つまり、熱が出たときのインフルの確率は25％になるのです！

5. 図でイメージしよう！

【図1：事前・事後・割り算の関係】

円グラフA：事前確率（インフル10％、風邪90％）
縦棒グラフB：熱が出る確率（インフル90％、風邪30％）
結果：熱を見た後で、「信頼の重み」が再配分される
→ インフルの事後確率が10％→25％に“増える”

6. 割り算が果たしている本当の役割

この一連の計算で、割り算が担っているのは何か？

それは：

「さまざまな仮説の中で、自分の仮説がどれだけ相対的に優れているかを評価する」

ということです。

割り算がなければ、尤度×事前確率だけで信頼度を出してしまい、他の可能性とのバランスを無視してしまいます。

つまり、分母による正規化＝全体の中での“位置づけ”がなければ、信頼の意味が成り立たないのです。

7. ベイズの応用：現代のAIにも使われている！

分野	ベイズ的な活用
スパム判定	メールの単語がスパムに現れる確率で更新
医療診断	症状から病気の可能性を計算
強化学習	状態遷移と報酬の不確実性を扱う
自然言語処理	単語の出現確率をベイズ的に更新
ベイズ最適化（機械学習）	不確実な関数の最良値を推定（効率よくパラメータ調整）

まとめ

ベイズの定理は、「信頼の更新」を割り算の構造で表現したもの
割り算は「どれだけ相対的に説明力があるか？」という評価の道具
分母は全体を正規化し、分子は「自分の主張の強さ」
日常の意思決定や、現代のAIの多くに応用されている

次回予告：「割り算で読み解く因果推論：相関と因果の決定的な違いとは？」

次はいよいよ、因果推論（causal inference）の領域に入っていきます！

相関と因果の違いって？
なぜ「割り算」だけでは因果を判断できない？
交絡因子・条件付き確率・介入の考え方とは？

複雑に見える因果の話も、「割り算的な考え方」から切り込むと、意外とスッと理解できます！

次回もどうぞお楽しみに！

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
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