【回帰分析と割り算：傾きと係数の正体を図と数式で読み解く】

2025年7月11日 2025年7月11日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

ここまでで、「割り算」が比較やスケーリング、基準化のために使われていることを見てきましたね。

相関係数では、共分散を標準偏差で割ることでスケールを統一
zスコアでは、平均との差を標準偏差で割って位置を表現
ログ変換では、比率を引き算に変換して扱いやすくする

今回は、回帰分析（regression analysis）の中に隠れた「割り算の正体」を見ていきます。

回帰分析は、「データの関係を線で表す」非常に強力な方法ですが、その線の傾きや係数の裏側には、実はあの「割り算」がしっかりと潜んでいるのです！

1. 回帰分析とは？

回帰分析とは、ある変数（Y）を、別の変数（X）で予測するための手法です。

もっと具体的に言うと：

「身長が高い人は体重も重い傾向がある」といった関係を、1本の直線で表そうとするのが回帰分析です。

基本の式はこちら：

$Y = aX + b$
（ワイイコールエーエックスたすビー）

a：回帰係数（傾き）
b：切片（Y軸との交点）

この「aの値」こそが、今回の主役です！

2. 回帰係数aはどうやって決まるの？

この「a（傾き）」を計算する式がこちら：

$a = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\text{Var}(X)}$
（エーイコールコブエックスワイ、わることのバリエーションエックス）

または、

$a = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$

ここでも出ました、割り算！

これは何を意味しているのかというと……

3. 割り算で「どれくらい変わるか」を測っている！

この数式は実は、とても直感的です。

分子（上）では「XとYがどれくらい一緒に動いているか」＝共分散
分母（下）では「Xだけがどれくらいバラついているか」＝Xの分散

つまりこの割り算は、

「Xが1増えたとき、Yは平均してどれだけ変わるか？」

という変化の割合（＝傾き）を測っているんです！

たとえるなら、坂道の傾きですね。

X軸＝横方向（入力）
Y軸＝縦方向（出力）
傾きa＝1歩横に進んだら、どれだけ登るか？

4. 単位のある回帰係数と、単位のない“標準化回帰係数”

ここまでの回帰係数には、単位があります。

たとえば、

X：cm（身長）
Y：kg（体重）

であれば、aの単位は「kg/cm」になります。

でもこれだと、他のモデルと比較しにくいですよね？

そこで、標準化回帰係数（standardized coefficient）が使われます。

この計算式は：

$\beta = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

あれ？　これどこかで見たことありませんか？

そうです、これは相関係数と同じ式なんです！

5. 標準化回帰係数と相関係数の関係

実は、単回帰分析においては、標準化回帰係数 β は相関係数 r と一致します。

つまり：

$\beta = r$

これは、「XもYも標準化（zスコア化）された状態」で回帰分析をすると、傾きがそのまま「相関係数」になる、ということです。

理由は簡単で、標準化するとすべての標準偏差が1になるため、余計なスケールが消えてしまうからなんですね。

6. 図で理解しよう！

【図1：回帰直線の意味】

横軸：X（例：身長）
縦軸：Y（例：体重）
データ点を散布図として配置
それらを通るように回帰直線を引く
傾きaが「どれだけ上がるか」を示す矢印で強調

7. 実務での活用ポイント

シーン	使う係数	理由
実際の影響を知りたいとき	回帰係数（a）	単位付きで「1cmで何kg増えるか」などがわかる
比較やランキングに使うとき	標準化回帰係数（β）	単位を持たず、影響の強さだけを比較できる

まとめ

回帰係数は「Xが1増えると、Yがどれくらい変わるか」を示す
計算式は「共分散 ÷ Xの分散」＝割り算で変化の比率をとっている
単位付きのaと、無単位のβ（標準化係数）を使い分けるのがコツ
単回帰ではβと相関係数rは同じ！

次回予告：「割り算から見た、機械学習における“正則化”の意味」

次は、機械学習で使われる正則化（regularization）という手法を、「割り算の視点」から解説します！

L1正則化、L2正則化、リッジ回帰、ラッソ回帰……
なぜ「重みを小さくする」必要があるのか？
「過学習」と「バランスのとれたモデル」の関係とは？

数式の意味を丁寧にひもときながら、「正則化＝割り算」の側面に迫っていきます！

どうぞお楽しみに！

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
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