対角行列の名前の由来とは？初心者向けに基礎からわかりやすく解説

2026年10月26日 2026年10月26日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

線形代数の基礎を学ぶ中で、計算の効率化やデータの変換において基準となる概念に対角行列があります。名前から対角線に関係があることは推測できても、具体的な構造やなぜそう呼ばれるのかについて、体系的に整理したいと考えている方もいらっしゃるかと思います。

今回は、対角行列という名前の由来や基本的な仕組み、扱う上でのメリットとデメリットについて、前提知識を持たない初心者の方に向けて順序立てて解説します。

対角行列の名前の由来と基本的な仕組み

行列とは、数値を長方形や正方形の格子状に並べたものです。その中でも、行の数と列の数が一致するものを正方行列と呼びます。

対角行列の名前の由来は、正方形の左上端から右下端へと向かう対角線上にのみ数値が存在し、対角線から外れた位置の数値がすべて0になっている配置にあります。

高校の幾何や日常の例で例えるなら、正方形の部屋の左上の角から右下の角へ引かれた直線通路のような構造です。その通路の上にだけ荷物が置かれており、通路から離れた周囲の床面には一切荷物が置かれていない状態を指します。この主要な対角線を専門用語で主対角線と呼び、主対角線以外の成分（非対角成分）がすべて0である正方行列を対角行列と定義します。

具体例として、3行3列の対角行列を示します。対角線上に配置される数値を a, b, c と置くと、次のような配置になります。

$D = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$

左上から右下への対角線上には a, b, c という値が存在しますが、それ以外のマス目はすべて0で埋められています。このように、対角線の要素だけで成り立っている外観的特徴から、対角行列という名称が与えられました。

対角行列のメリットとデメリット

対角行列は、演算の簡便さから理論研究や工学的な計算処理において頻繁に用いられます。具体的な性質に基づく長所と短所を整理します。

対角行列のメリット

乗算や累乗の計算手順が簡略化される一般的な行列同士の掛け算では多数の積と和を組み合わせる複雑な手順を要しますが、対角行列同士の掛け算では対応する対角線上の数値同士をそれぞれ掛け合わせるだけで結果が得られます。また、行列を何乗も掛け合わせる累乗計算においても、対角成分をそのまま指定の回数だけ累乗する操作で完結します。
逆行列を即座に算出できる対角成分の数値がすべて0でない場合、各対角成分の逆数（分母と分子を入れ替えた数）を並べるだけで逆行列が完成します。一般の正方行列で行われるような連立一次方程式の掃き出し法を必要としません。
連立一次方程式が完全に独立した関係へ分離される対角行列を係数とする連立方程式では、未知数同士の干渉が一切存在しません。各方程式が単一の未知数のみを含む形となるため、他の変数の影響を考慮せずに個別に解を求めることができます。

対角行列のデメリット

項目同士の相互作用を直接表現できない非対角成分がすべて0であるため、ある軸の数値が別の軸の数値に影響を与えるような相関関係や連動関係を表すことができません。多変量のデータ間に複雑な関係性が存在する現象をそのまま記録する用途には不向きです。
対象の行列が対角化可能であるとは限らない一般の行列を対角行列の形に変換する操作を対角化と呼びますが、すべての正方行列が対角化できるわけではありません。固有ベクトルが十分に揃わない特殊な行列の場合、対角行列への変形が不可能となり、この利点を生かした計算が適用できない制約があります。

まとめ：対角行列を理解するための学習ステップ

対角行列の理解を深めるためには、次の順序で学習を進めると、無理なく全体の体系を把握できます。

主対角線と非対角成分の定義を確認する正方行列における行番号と列番号が一致する位置を主対角線と呼び、その他の位置を非対角成分と呼ぶ位置関係を把握します。
対角行列同士の掛け算と累乗を手計算する具体的な数値を入れた2行2列の対角行列を用意し、一般の行列積の規則に従って計算した結果が、対角成分の掛け算のみと一致することを手作業で確かめます。
行列の対角化の手順を学ぶ一般の正方行列から固有値と固有ベクトルを求め、それらを用いて元の行列を対角行列に変換する対角化の手順へと学習を展開します。

以上の順序で学習を進めることで、対角行列が持つ特有の構造から応用的な計算技術への接続を自然に理解することができます。

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
海外放浪の末、2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
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学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。