「ノルム」と「絶対値」は別モノ？AI/数学で使う「大きさ」の測り方を徹底解説

2025年11月11日 2025年11月11日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

AIや機械学習の勉強を始めると、 $|x|$ という記号と、 $| \vec{v} |$ という、なんだかよく似た記号に出会いますよね。

$|x|$ は「絶対値（ぜったいち）」、 $| \vec{v} |$ は「ノルム」と呼ばれます。

「どっちも『大きさ』みたいなものじゃないの？」「なぜ使い分けるの？」

そんな疑問を持つ新人エンジニアのあなたのために、今日はこの2つの本質的な違いと、とても重要な関係性を解説していきます！

おさらい：「絶対値」は「1次元」の世界

まずは、私たちがお馴染みの「絶対値」からおさらいしましょう。

絶対値とは、ズバリ**「数直線の上で、0（原点）からどれだけ離れているか」**という「距離」のことです。

例えば、 $|-5|$ は「-5」という点が「0」からどれだけ離れているか？を表し、その答えは $5$ です。

もちろん、 $|+5|$ も $5$ ですよね。

ここで一番大事なポイントは、絶対値が扱うのは「数直線上」、つまり**「1次元」の世界**だということです。

東に5kmも、西に5kmも、0地点からの距離は同じ5km。これが絶対値の考え方です。

「ノルム」は「多次元」の世界の「大きさ」

では、本日の主役「ノルム」とは何でしょうか？

ノルムとは、一言でいうと**「ベクトルの大きさ（長さ）」**を測るための道具です。

「ベクトル」と聞いた瞬間に難しく感じるかもしれませんが、要は「多次元の点」のことだと思ってください。

1次元 (数直線) $\rightarrow$ $x$
2次元 (平面) $\rightarrow$ $\vec{v} = [x, y]$
3次元 (空間) $\rightarrow$ $\vec{v} = [x, y, z]$
...
n次元 $\rightarrow$ $\vec{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n]$

絶対値は1次元の $[x]$ という「点」と $[0]$ の距離しか測れませんでした。

でも、私たちがAIで扱うデータは、2次元や3次元どころか、時には数万次元にもなります！

例えば、 $\vec{v} = [3, 4]$ という2次元のベクトル（点）を考えてみましょう。

これは、原点 $[0, 0]$ から「右に3、上に4」進んだ地点のことです。

このベクトルの「大きさ」つまり「原点からの長さ」はどう計算しますか？

...そう、中学校で習った「三平方の定理」ですね！

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

この「多次元の世界で、原点からの距離（長さ）を計算するルール」、それこそが「ノルム」の正体です。

この計算方法（三平方の定理の拡張）は、最も一般的なノルムで、「L2ノルム（ユークリッドノルム）」と呼ばれます。

記号 $| \vec{v} |$ を使って、こう書きます。

$| \vec{v} | = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$

結論：「絶対値」は「ノルム」の特別な姿

さて、ここで2つの関係が見えてきました。

もし、私たちが扱う世界が「1次元」だったら、「ノルム」の式はどうなるでしょうか？

1次元のベクトル $\vec{v} = [-5]$ のL2ノルムを計算してみましょう。

先ほどのL2ノルムの式に、 $v_1 = -5$ を代入します。（ $v_2$ 以降はありません）

$| \vec{v} | = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$

あれ...？

一方で、「-5」の「絶対値」は...？

$|-5| = 5$

...見事に一致しましたね！

そう、これが結論です。

絶対値とは、1次元ベクトルにおけるL2ノルムのことなのです。

「ノルム」は多次元に対応できる、もっと一般的で強力な「大きさ」の定義です。

「絶対値」は、そのノルムという広い概念の中で、たまたま一番シンプルな「1次元」の場合だけを切り取った、特別な姿（特殊ケース）だった、というわけです！

ノルム: 多次元（1D, 2D, 3D...）で使える「大きさ」の定義
絶対値: ノルムの「1次元バージョン」

例えるなら、「ノルム」が「乗り物」という広い概念だとすれば、「絶対値」は「一輪車」のようなもの。「一輪車」は「乗り物」の一種ですが、「乗り物」は「一輪車」だけではない、という関係に似ていますね。

なぜエンジニアは「ノルム」を気にするの？

新人エンジニアのあなたが、なぜ絶対値だけでなく「ノルム」を学ぶ必要があるのか。

それは、AIや機械学習が「多次元のデータ」を扱うからです。

例えば、自然言語処理（NLP）では、「王様」という単語を $[0.8, 0.1, 0.9, \dots]$ のように、数百次元のベクトルで表現します。

このとき、「王様」と「女王」という2つの単語ベクトルが、どれくらい「意味が近いか」を計算したくなります。

この「ベクトルの世界の距離」を測るために、ノルムが必須の道具になるのです。

（ $| \vec{王様} - \vec{女王} |$ のように計算します）

また、機械学習モデルが「過学習（かしがくしゅう）」するのを防ぐ「正則化」というテクニックでも、L2ノルムやL1ノルム（L1は $\sum |v_i|$ という計算）が使われます。

「ベクトルの『大きさ』そのもの」をペナルティとして扱うことで、モデルが複雑になりすぎるのを防いでいるのです。

まとめと今後の学習指針

いかがでしたでしょうか？

絶対値とノルムの違い、スッキリ整理できましたか？

絶対値 $|x|$ : 1次元の「数直線上」での、0からの距離。
ノルム $| \vec{v} |$ : 多次元の「ベクトル空間」での、原点からの大きさ（長さ）。
関係: 絶対値は、ノルムの1次元における特殊なケース。

あなたがこれからAIやデータサイエンスの世界で戦っていくなら、「距離」や「大きさ」を測る尺度は、絶対値だけでは全く足りません。

ぜひ「ノルム」という、多次元空間を自在に測るための強力なメジャー（巻き尺）を手に入れてください。

今後の学習としては、今日少しだけ触れた「L1ノルム」と「L2ノルム」の違いについて深掘りしてみることを強くオススメします。

なぜこの2つが使い分けられるのか？それぞれどんな特性があるのか？

これが分かると、機械学習の「正則化」という重要なテクニック（Lasso回帰やRidge回帰）の理解が一気に深まりますよ！

一緒に頑張っていきましょう！

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
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