【数学解説】3重の合成関数を微分するには？連鎖律は「マトリョーシカ」で攻略せよ！

2026年1月13日 2026年1月13日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

新人エンジニアの研修を担当されているみなさん、講義の進み具合はいかがでしょうか。機械学習やディープラーニングの基礎理論を教えていると、避けて通れないのが「微分」ですよね。

特に「誤差逆伝播法（バックプロパゲーション）」の話をする際、こんな鋭い質問を受けたことはありませんか。

「先生、2重の関数なら『外側の微分 × 内側の微分』って習いましたけど、関数が3重に入れ子になっているときはどう表現すればいいんですか？」

確かに、 $f(g(x))$ までは教わっても、 $f(g(h(x)))$ になると急に教科書から姿を消してしまったりしますよね。

今日は、この「3重の連鎖律（チェーンルール）」を、誰でもイメージできる「マトリョーシカ」に例えて、直感的に理解する方法を解説します。数式が苦手な新人さんでも、自信を持って計算できるようになりますよ。

「外 × 内」だけでは足りない？

まず、基本のおさらいです。みなさんがよく知っている「合成関数の微分」は、2つの関数が重なっているときのものでしたね。

そのときの合言葉は、「外側の微分 × 内側の微分」でした。

では、関数が3重になったらどうなるのでしょう。

結論から言います。合言葉はこう変わります。

「一番外側の微分 × 真ん中の微分 × 一番内側の微分」

どうでしょうか。拍子抜けするくらいシンプルですよね。

実は微分の連鎖律というのは、関数が3重になろうが100重になろうが、「外側から順番に皮を剥いていって、全部掛け算でつなぐ」という単純なルールで動いているのです。

マトリョーシカでイメージしよう

このルールを、ロシアの人形「マトリョーシカ」で想像してみましょう。

一番外側の大きな人形（関数 $f$ ）を開けます（微分します）。
- 中にはまだ、中くらいの人形が入ったままです。
中くらいの人形（関数 $g$ ）を取り出して開けます（微分します）。
- 中にはまだ、小さな人形が入ったままです。
一番小さな人形（関数 $h$ ）を取り出して開けます（微分します）。
- これで最後です。

この3つの動作（微分）をすべて掛け算でつなげば、計算は完了です。

数式で見る「3段構え」の連鎖律

では、少しだけエンジニアらしく数式で確認してみましょう。文字ばかりで怖気づかないよう、分解して説明しますね。

3重の入れ子になった関数を、次のように書きます。

$y = f(g(h(x)))$

これを一気に微分しようとすると混乱します。そこで、中身を別の文字で置き換えて、バラバラにしてみましょう。

一番外側： $y = f(u)$
真ん中： $u = g(v)$
一番内側： $v = h(x)$

こうすると、それぞれの関係がスッキリ見えますね。

連鎖律の公式を使うと、全体の微分 $\frac{dy}{dx}$ は、それぞれの微分の掛け算になります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx}$

これを元の関数の形に戻して表現すると、こうなります。

$y' = f'(g(h(x))) \times g'(h(x)) \times h'(x)$

数式で見ると少し複雑に見えるかもしれませんが、やっていることは先ほどのマトリョーシカと同じです。

「左（外）から順番に微分して、中身はそのまま残す。それを掛け算でつないでいく」

これだけ覚えておけば大丈夫です！

メリットとデメリットを知っておこう

この「多重連鎖律」を理解することには、エンジニアにとって大きな意味があります。

メリット：AIのブラックボックスが開く

今のAIブームを支えている「ディープラーニング」は、実は巨大な「多重の合成関数」そのものです。層が深くなればなるほど、関数は何十重にも入れ子になります。

「外側から順に微分を掛けていく」という感覚がつかめれば、AIがどのように学習（パラメータの修正）を行っているのか、その仕組みが直感的に理解できるようになります。

デメリット：計算ミスとの戦い

一方で、デメリットは単純に「計算が長くなる」ことです。

項が増えれば増えるほど、書き写し間違いや、微分し忘れなどのケアレスミスが発生しやすくなります。手計算をする際は、面倒でも $u$ や $v$ といった文字で置き換えて、一つずつ確実に処理することをおすすめします。

今後の学習の指針

いかがでしたか。

「3重の微分」と聞いて身構えていたかもしれませんが、実は「2重の微分」にもう一つ掛け算が増えただけでしたね。

最後に、これからの学習のステップをお伝えします。

この連鎖律の感覚を掴んだら、次はぜひ「計算グラフ（Computational Graph）」という考え方に触れてみてください。

これは、複雑な数式をノード（丸）とエッジ（線）の図で表して、計算の流れを可視化する手法です。今回学んだ「連鎖律」が、図の上を逆流していく信号として表現されており、ディープラーニングの実装においては必須の知識となります。

「マトリョーシカを開けるように、外から順に掛けていく」

このイメージを武器に、複雑な数式も恐れず解き明かしていってください。

それでは、またお会いしましょう。

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
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学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。