「カイ二乗検定における『独立』とは?意味と具体例でわかりやすく解説」

こんにちは。ゆうせいです。

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カイ二乗検定(χ²検定)を勉強していると、「2つの変数が独立であるかどうかを検定する」といった表現を目にすることがあります。では、この「独立」って、いったいどういう意味なのでしょうか?

数学的な話に聞こえてしまうかもしれませんが、実はとても日常的な考え方に基づいています。一緒にじっくり見ていきましょう!


カイ二乗検定における「独立」の意味

統計における「独立」とは?

まず、「独立」という言葉を日常に置きかえてみましょう。

たとえば、「雨が降るかどうか」と「朝ごはんにパンを食べるかどうか」。この2つに関係がなさそうなら、「独立している」と言えそうですね。

統計で言う「独立」も、これと同じ考えです。

ある変数の値が、別の変数の値に影響を与えないとき、2つの変数は独立している

こう考えます。

数式で表すとどうなる?

独立の定義は確率を使って、次のように表現できます。

記号を使った表現:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

日本語に置き換えると:

「AかつBが同時に起こる確率」は
「Aが起こる確率」×「Bが起こる確率」と等しい

この式が成り立っていれば、AとBは独立です。


カイ二乗検定で使われる「独立性の検定」とは?

カイ二乗検定の中でも、「独立性の検定」は特に有名です。これは、クロス集計表(2つのカテゴリ変数の組み合わせをまとめた表)を使って、2つの変数が独立かどうかを調べる方法です。

具体例で考えてみよう

たとえば、以下のようなデータがあったとします。

性別好きなアイス:バニラ好きなアイス:チョコ合計
男性302050
女性104050
合計4060100

このような表をもとに、「性別」と「アイスの好み」が独立かどうかをカイ二乗検定で調べます。


独立であるとは、どんな状態?

「性別」と「アイスの好み」が独立であるなら、性別に関係なく、同じ割合でバニラとチョコが好まれているはずです。

つまり、バニラが好きな人が全体の40%なら、男性の中でも40%、女性の中でも40%がバニラを好む、というのが独立の状態です。

これを図にすると以下のようになります。

理論的な(期待される)割合:

性別バニラ(期待値)チョコ(期待値)
男性50 × 40% = 2050 × 60% = 30
女性50 × 40% = 2050 × 60% = 30

実際のデータ(観測値)と比べてみましょう。

性別バニラ(実際)バニラ(期待)チョコ(実際)チョコ(期待)
男性30202030
女性10204030

このように実際の数値と期待される数値が違うと、「独立していないのでは?」と考えるのです。


カイ二乗検定がやっていること

カイ二乗検定では、次のような数式を使って「観測値と期待値のズレ」を数値化します。

数式:

χ² = Σ ( (観測値 − 期待値)² ÷ 期待値 )

記号を使うと:

χ² = Σ ((O − E)² / E)

  • O:Observed(観測値)
  • E:Expected(期待値)

この値が大きいと「独立であるとは言えなさそう」、つまり「性別とアイスの好みに関係がある」と判断します。


メリットとデメリット

メリットデメリット
簡単な表で関係性を検定できる数が少なすぎると正確な結果が出にくい
前提知識が少なくても使いやすい「なぜ関係があるのか」はわからない
名義尺度(カテゴリー)データに使える数量的な大小関係は扱えない

よくある誤解

  • 「独立」=「無関係」と思いがちですが、厳密には「確率的に影響し合っていない」という意味です。
  • 因果関係があるかどうかは、カイ二乗検定ではわかりません。

まとめ:独立とは「お互いに無干渉な関係」

カイ二乗検定が想定する「独立」とは、「一方の変数の値を知っても、もう一方の変数に関する情報は得られない」状態を意味します。つまり、「片方を知っても、もう片方の結果の予測には役に立たない」状態です。

例えるなら、「じゃんけんの勝敗」と「今日の昼ごはん」は独立です。ですが、「性別」と「服の好み」は、もしかすると独立でないかもしれません。


今後の学習の指針

今後は以下の点に進んでみましょう!

  • 「期待度数」の求め方の練習:実際に計算してみることで感覚がつかめます
  • 自由度とカイ二乗分布:検定結果を読むにはカイ二乗分布の理解が重要です
  • p値の意味:統計的有意性を判断する鍵です
  • 他の検定(t検定、分散分析など)との違い:適切な手法選びに役立ちます

不明な点があれば、どんどん質問してくださいね!

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投稿者プロフィール

山崎講師
山崎講師代表取締役
セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します!
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