【スケーリングと正規分布：割り算が描く“標準”のかたち】

2025年7月11日 2025年7月11日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

前回は、機械学習の「正則化」に割り算がどう関わっているかを学びましたね。
罰金のように見えるλ（ラムダ）も、実は係数の“調整”という意味で割り算の思考が深く関わっていました。

今回はいよいよ、統計の世界の「核」とも言えるテーマ、正規分布とスケーリングの関係に迫ります。

なぜ標準正規分布は平均0・標準偏差1なの？
なぜ正規分布にzスコアや割り算が出てくるの？
スケーリングって何のためにやるの？

こうした疑問を、「割り算の視点」から紐解いていきましょう！

1. 正規分布とは何か？

まずは定番のおさらいから。

正規分布（normal distribution）とは、自然界や社会のさまざまな現象に登場する「釣鐘型の分布」のことです。

たとえば：

身長
体重
テストの点数
製品の誤差
センサーのノイズ

など、平均値の周りに“偶然的に”ばらつくデータが、正規分布に従うことが多いんですね。

2. 正規分布の数式と割り算

正規分布はこんな数式で表されます：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$

（エフエックスイコール、ルート2パイかけるシグマ分の1、かける指数マイナス……）

この中にも割り算が2つ登場しています。

つまりこの数式は、

「平均との差がどれだけ“標準的なばらつき（σ）”に比べて大きいか？」

という比の世界でデータを評価しているんです。

3. 標準正規分布とは？

標準正規分布（standard normal distribution）とは：

平均：0（μ = 0）
標準偏差：1（σ = 1）

という特別な正規分布のことです。

zスコアを使えば、どんな正規分布でもこの標準正規分布に変換できます。

変換式：

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

出ました、またしても割り算！

これは：

「データxが、平均から何σ分だけ離れているか？」

を表しています。

つまり、正規分布の中での“立ち位置”を比率で示しているんですね。

4. 割り算が作る“比較可能な世界”

ここで割り算が果たしている役割をまとめてみましょう。

割り算の場面	何を比較しているか
$x - \mu$	基準（平均）との差
$(x - \mu)/\sigma$	差の「ばらつき」に対する大きさ（相対値）
ロジスティック関数の割り算	確率を比で表す

これらに共通するのは、「そのままの値ではなく、基準に対する比として扱う」という発想です。

5. スケーリングとは？

スケーリングとは、異なるスケール（尺度）を持つデータを、比較できる形に揃えることです。

たとえば：

身長（cm）→ [150〜190]
年収（万円）→ [200〜2000]

このままでは、年収の値の方が大きすぎて、モデルに強い影響を与えてしまいます。

そこで、以下のような操作を行います。

【主なスケーリング方法】

x' = \frac{x - \min(x)}{\max(x) - \min(x)}

方法	数式	特徴
標準化（zスコア）	$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$	正規分布を仮定。平均0、分散1に変換
最小最大正規化	$x' = \frac{x - \min(x)}{\max(x) - \min(x)}$	0〜1の範囲に変換
ロバストスケーリング	$x'' = \frac{x - \text{Median}}{\text{IQR}}$	外れ値に強い

すべて割り算が登場していますね！

6. なぜ割り算を使うのか？

もう一度整理すると、割り算は次のような効果を持ちます。

単位を消す → 無次元化（比較可能に）
位置を測る → 中心からの離れ具合
スケールを統一 → 高さ・広がりを調整
比率で評価 → 「これってどれくらい？」が一目瞭然

たとえるなら、割り算は定規のようなもの。

1mのものをcm単位で測ると100cm。
でも100cmの定規で測れば「ちょうど1つ分」。

つまり、測る物差し（σなど）を揃えるために割り算しているのです！

7. 図でイメージしよう！

【図1：正規分布とzスコア】

横軸：zスコア（−3σ〜＋3σ）
縦軸：確率密度
平均（z=0）を中心に左右対称
z=±1, ±2, ±3 に縦線を引いて領域を色分け

→ zが±1の範囲には約68%のデータが含まれる！という特徴が一目でわかります。

まとめ

正規分布の数式には、平均と標準偏差を使った「割り算」が登場する
割り算によって“そのデータがどこに位置するか”を相対的に表現
標準化（zスコア）やスケーリングは、比較のための準備として非常に重要
正規分布とは「割り算の世界でのバランスのとれた形」とも言える

次回予告：「割り算の“限界”とその先へ：非線形性とスケーリングの再考」

次は、「割り算では捉えきれない世界」について取り上げます。

線形な世界では大活躍する割り算も、
非線形な関係、階段的な変化、分類タスクなどでは限界があります。

そんなとき、どんな発想が必要になるのか？
非線形モデル、カーネル法、正規化以外の方法なども交えてお話ししていきます。

どうぞお楽しみに！

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
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