逆行列の覚え方｜2×2の公式を「入れ替え・反転・割る」の3ステップで教える方法

2026年11月14日 最終更新日時 : 2026年11月14日 山崎講師山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

逆行列は、行列式・行列の積と並んで、線形代数の研修で受講者が公式を覚えにくい単元です。特に2×2の逆行列の公式は、成分の位置が入れ替わったり、マイナスが付いたり、分数が前に出たりと、変化が一度に起こるため、丸暗記させると混乱しやすくなります。

今回は、2×2の逆行列の公式を「入れ替え・反転・割る」という3つのステップに分けて教える方法を紹介します。公式と数値例を1枚にまとめた図と、受講者に解いてもらう練習問題も用意しました。

2×2の逆行列の覚え方：aとdを入れ替え、bとcの符号を反転し、ad−bcで割る

逆行列とは何か

逆行列は、ある行列が行った変換を元に戻す行列です。行列 A の逆行列を A^-1（エー・インバース）と書きます。

数の掛け算で考えると分かりやすくなります。3 に 1/3 を掛けると 1 になります。この 1/3 を 3 の逆数と呼びます。行列でも同じように、A に掛けると単位行列 E になる行列が逆行列です。

A A^{-1} = A^{-1} A = E

単位行列 E は、数の 1 にあたる行列で、対角線上が 1、それ以外が 0 の行列です。

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

どの行列 A に E を掛けても A のまま変わりません。数に 1 を掛けても変わらないのと同じ性質です。

2×2の逆行列の公式

公式

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} のとき、

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

各記号の意味は次のとおりです。

  • a, d：左上から右下への対角線上にある成分
  • b, c：もう一方の対角線上にある成分
  • ad - bc：行列 A の行列式（det A）

3ステップで覚える

公式は、次の3つのステップに分けると覚えやすくなります。

  1. 入れ替え：対角線上の a と d の場所を入れ替える
  2. 反転：残りの b と c に、マイナスを付ける（符号を反転する）
  3. 割る：全体を行列式 ad - bc で割る

b と c は場所を動かさず、符号だけを変える点がポイントです。受講者には「a と d は動く、b と c は動かずにマイナスが付く」と、動くものと動かないものを対比して伝えると、混同を防げます。

また、3つ目の ad - bc は、行列式の公式そのものです。行列式の単元を学習済みであれば、「たすき掛けで出した数で割る」と結び付けられます。

数値で確認する

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}

3ステップの順に計算します。

  • 入れ替え：3 と 2 を入れ替えると、対角線上は 2 と 3 になる
  • 反転：1 と 4 に、マイナスを付けて -1 と -4 にする
  • 割る：行列式は 3 × 2 - 1 × 4 = 2 なので、全体を 2 で割る

A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ -2 & 1.5 \end{pmatrix}

検算の方法

逆行列が正しいかどうかは、元の行列と掛けて単位行列になるかで確認できます。

\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ -2 & 1.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

  • 1行1列目：3 × 1 + 1 × (-2) = 1
  • 1行2列目：3 × (-0.5) + 1 × 1.5 = 0
  • 2行1列目：4 × 1 + 2 × (-2) = 0
  • 2行2列目：4 × (-0.5) + 2 × 1.5 = 1

検算は、行列の積の練習も兼ねられます。研修では、逆行列を求めたら必ず検算までを1セットにすると、計算ミスに自分で気付ける習慣が身に付きます。

受講者がつまずきやすい点

  • b と c も入れ替えてしまう：b と c は場所を動かしません。図の色分けで「動く成分」と「動かない成分」を区別させます
  • a と d にマイナスを付けてしまう：マイナスが付くのは b と c だけです
  • 行列式で割り忘れる：入れ替えと反転だけで終わる誤りです。検算をすると、単位行列ではなく対角線上に ad - bc が並んだ行列になるため、割り忘れに気付けます
  • 行列式の計算ミス：ad + bc としてしまうと、分母が誤った値になります

練習問題1

次の行列の逆行列を求めてください。逆行列が存在しない場合は、その理由を答えてください。

(1)

\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

(2)

\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

解答と解説

(1) 行列式は 5 × 1 - 2 × 3 = 5 - 6 = -1 です。

\frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}

行列式が負の値なので、最後に全成分の符号が反転します。検算すると、1行1列目は 5 × (-1) + 2 × 3 = 1、1行2列目は 5 × 2 + 2 × (-5) = 0 となり、単位行列になることを確認できます。

(2) 行列式は 2 × 3 - 6 × 1 = 0 です。0 で割ることはできないため、この行列には逆行列がありません。

逆行列が存在しない場合

行列式 ad - bc が 0 の行列には、逆行列がありません。このような行列を正則でない行列（特異行列）と呼びます。

意味の面から説明すると、行列式が 0 の行列は、平面全体を1本の直線や1点に押しつぶす変換です。押しつぶした後の点からは、元の位置を1つに決められないため、元に戻す変換（逆行列）を作れません。

数の世界で 0 に逆数がないことと同じだと伝えると、受講者は納得しやすくなります。研修では、逆行列を求める前に「まず行列式を計算して、0 でないことを確かめる」という順番を習慣にさせてください。

逆行列で連立方程式を解く

逆行列の代表的な使い道が、連立方程式を解くことです。次の連立方程式を考えます。

  • 3x + y = 5
  • 4x + 2y = 6

この連立方程式は、行列を使って次のように書けます。

\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}

両辺の左から逆行列を掛けると、左辺は単位行列 E と (x, y) の積になり、(x, y) だけが残ります。

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ -2 & 1.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}

  • x：1 × 5 + (-0.5) × 6 = 5 - 3 = 2
  • y：(-2) × 5 + 1.5 × 6 = -10 + 9 = -1

元の式に代入すると、3 × 2 + (-1) = 5、4 × 2 + 2 × (-1) = 6 となり、正しい解であることを確認できます。

数の方程式 3x = 6 を、両辺に 1/3 を掛けて x = 2 と解くのと同じ考え方です。逆行列は「行列の世界の割り算」として働きます。

練習問題2

逆行列を使って、次の連立方程式を解いてください。練習問題1の(1)で求めた逆行列を利用できます。

  • 5x + 2y = 9
  • 3x + y = 5

解答と解説

係数の行列は練習問題1の(1)と同じなので、逆行列は (-1, 2 ／ 3, -5) です。

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

  • x：(-1) × 9 + 2 × 5 = -9 + 10 = 1
  • y：3 × 9 + (-5) × 5 = 27 - 25 = 2

代入して確認すると、5 × 1 + 2 × 2 = 9、3 × 1 + 2 = 5 となり、x = 1, y = 2 が解です。

AI系の研修では、線形回帰の重みを求める正規方程式にも逆行列が登場することを補足すると、学ぶ目的が伝わりやすくなります。

3×3以上の逆行列について

今回の「入れ替え・反転・割る」は、2×2専用の覚え方です。3×3以上の逆行列は、次の方法で求めます。

  • 掃き出し法（ガウス・ジョルダン法）：元の行列と単位行列を並べ、行基本変形で左側を単位行列にする方法
  • 余因子行列を使う方法：各成分の余因子を並べた行列を、行列式で割る方法

実務やプログラミングでは、NumPy の numpy.linalg.inv のようなライブラリ関数で計算するのが一般的です。研修では、2×2で意味と手順を理解させたうえで、大きな行列は計算ツールに任せる、という役割分担を伝えるとよいでしょう。

確認問題

2×2の逆行列について、正しい説明を1つ選んでください。

  1. 逆行列を求めるときは、b と c の場所を入れ替える
  2. 逆行列を求めるときは、a と d にマイナスを付ける
  3. 行列式が 0 の行列ほど、逆行列の成分が小さくなる
  4. 元の行列と逆行列を掛けると、単位行列になる

解答と解説

正解は 4 です。

  • 1 は誤りです。場所を入れ替えるのは a と d で、b と c は動かしません
  • 2 は誤りです。マイナスを付けるのは b と c です
  • 3 は誤りです。行列式が 0 の行列には、逆行列そのものが存在しません
  • 4 は正しい説明です。AA^-1 = A^-1A = E が逆行列の定義であり、検算にも使えます

研修で教えるときの進め方

講師向けに、逆行列を扱うときの進め方の一例を示します。

  1. 数の逆数（3 と 1/3）を例に、「掛けると 1 になる相手」という考え方を確認する
  2. 単位行列 E を、行列の世界の 1 として紹介する
  3. 2×2の公式を「入れ替え・反転・割る」の3ステップで示す
  4. 数値例で逆行列を求め、行列の積で検算する
  5. 練習問題1で、行列式が 0 の場合に逆行列がないことを確認する
  6. 連立方程式の解法を示し、練習問題2を解いてもらう

ペアワークとして、1人が逆行列を計算し、もう1人が検算を担当する役割分担にすると、手順の確認と行列の積の復習を同時に進められます。

まとめ

  • 逆行列は、掛けると単位行列 E になる行列で、変換を元に戻す働きをする
  • 2×2の逆行列は「a と d を入れ替え、b と c の符号を反転し、ad - bc で割る」の3ステップで求める
  • 行列式 ad - bc が 0 の行列には、逆行列がない
  • 求めた逆行列は、元の行列と掛けて単位行列になるかで検算できる
  • 逆行列を使うと、連立方程式を行列の形のまま解ける

次の学習ステップとしては、3×3の逆行列を掃き出し法で求める練習をおすすめします。2×2の公式で身に付けた「検算で確かめる」習慣は、計算量が増える3×3でそのまま役立ちます。

投稿者プロフィール

山崎講師
山崎講師代表取締役
セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
海外放浪の末、2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
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この記事に間違い等ありましたらぜひお知らせください。

学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。
対象読者
山崎講師、新人エンジニア研修講師
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