【第1章：確率における掛け算 ― 依存と独立をつなぐ橋】

2025年7月11日 2025年7月11日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

今回は、掛け算の本質を探るシリーズの第1章として、「確率」の世界における掛け算についてお話しします。

「え？確率って足し算じゃないの？」
たしかに、確率を扱う場面では「AまたはBが起こる確率」など、足し算が使われることもあります。

でも、「AとBの両方が起こる確率」になると、登場するのは掛け算なんです。

そしてこの掛け算には、「出来事の関係性」や「依存性」まで含まれています。
ただ数を掛けるだけじゃない、構造を表す“意味のある掛け算”。
そんな世界を、一緒に見ていきましょう！

◆ 1. 同時に起こる確率とは？

まず、「AとBが両方起こる確率」を同時確率といいます。
これを数式で表すと、こうなります：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
（ピーエーかつビーは、ピーエーかけるピービー条件付きエー）

ここで登場しているのが、掛け算です！

ではこの式、どんな意味を持っているのでしょうか？

◆ 2. 「確率 × 確率」ってどういうこと？

この掛け算は、

● Aが起こる確率 ×
● Aが起こったあとにBが起こる確率

を表しています。

たとえば：

A：1回目のコイン投げで表（heads）が出る（確率 = 0.5）
B：2回目のコイン投げで表（heads）が出る（確率 = 0.5）

この2つは独立しているので、

$P(\text{heads, heads}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$

つまり、「それぞれの出来事の確率を掛ければ、両方同時に起こる確率がわかる」ということです。

これが独立な場合の掛け算です。

◆ 3. でも、いつも独立とは限らない！

現実の出来事は、たいていお互いに影響し合っています。

たとえば：

A：今日は雨が降っている
B：傘を持っている人が多い

このとき、Aが起きたら、Bが起きる確率は明らかに高くなりますよね？

こうした場合、単純な掛け算ではなく、「条件付き確率」を使った式にしなければなりません。

$P(B|A) = \text{the probability of B given A}$

そしてこの関係を通して：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

という掛け算が、依存関係を内包する形で登場しているわけです！

◆ 4. 掛け算が意味するのは「順番と依存」

ポイントはここです。

この掛け算は、

● Aが起こる「道」 ×
● その道の先にBがある確率

つまり、「道が枝分かれして進んでいく構造」を表しています。

たとえるなら：

Aが起きることで、Bが起きる“道”が開く
そして、その道の「通りやすさ」が P(B|A)

掛け算で「通る確率 × 通り先の確率」をつないでいるんですね。

◆ 5. ベイズの定理にも掛け算は登場する！

この掛け算は、ベイズの定理でも重要な役割を果たします。

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$

ここでも：

P(B|A) × P(A)
という掛け算が、P(A ∩ B)（AかつBの確率）に対応しています。

つまり、

「原因Aの確率」 ×
「そのAから結果Bが起きる確率」＝
「AとBが同時に起きる確率」

という解釈ができます。

掛け算が、「因果っぽい関係性」や「信頼の連鎖」を数式で支えているのです！

◆ 6. 図で理解しよう！

【図1：確率の枝分かれ】

A（雨が降る：0.3）
　↳ B（傘を持つ：0.8） → 0.3 × 0.8 = 0.24
Aが起きた枝の先に、Bが起きる枝がある
→ 掛け算 = 道を2つ連続で通る確率

◆ 7. まとめ：掛け算は「つながり」を表す

確率の掛け算は、順番と関係性を表現する
独立な場合は：P(A) × P(B)
依存がある場合は：P(A) × P(B|A)
掛け算によって、「出来事の組み合わせ」が定量的に扱える
単なる計算ではなく、「構造的な連鎖の重なり」こそが本質！

次回予告：「期待値と掛け算 ― 平均の裏にある重みづけの構造」

次回は、確率のもう一つの基本指標、期待値（expectation）に登場する掛け算を扱います。

なぜ「数値 × 確率」で平均を出すの？
どうして掛け算なのか？
重み付き平均と意思決定のつながりは？

掛け算の意味がさらに深く見えてくるテーマです。
どうぞお楽しみに！

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
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