行列の迷宮を攻略！行列の手計算練習問題

2026年3月15日 2026年3月15日山崎講師

山崎講師

行列の迷宮を攻略！2次正方行列の固有値を手計算でマスターする完全ガイド

こんにちは。ゆうせいです。

数学の教科書を開いて、行列という四角い数字の並びを見たときに、これはいったい何の役に立つんだろうと不思議に思ったことはありませんか。実は、行列は画像処理や人工知能の計算など、現代のテクノロジーを支える影の主役なのです。今回はその中でも特に重要な、固有値という概念を一緒に攻略していきましょう。

あなたは、ゴムのように伸び縮みするシートを想像できますか。行列は、そのシートを特定の方向に引っ張る「力」のようなものです。多くの点はバラバラな方向に動いてしまいますが、中には「方向は変わらず、長さだけが変わる」という不思議なベクトルが存在します。その「伸び縮みの倍率」こそが、今回計算する固有値の正体です。

固有値を求めるための秘密の道具

固有値を計算するためには、まずいくつかの専門用語を味方につける必要があります。難しそうに見えますが、一つずつ紐解けばパズルのピースのようなものです。

固有値（こゆうち）とは

先ほどお話しした通り、行列によってベクトルを変換した際、向きが変わらずにスケールだけが変化するときの、その「倍率」を指します。

固有方程式（こゆうほうていしき）

固有値を求めるための専用の方程式です。行列を $A$ 、求める固有値を $\lambda$ （ラムダ）、単位行列を $E$ とすると、次のような式で表されます。

$\det(A - \lambda E) = 0$

この $\det$ というのは「行列式」という意味です。2次正方行列の場合、たすき掛けのように数字を掛けて引き算をするだけで計算できる魔法の数字だと思ってください。

ステップバイステップ！練習問題に挑戦

それでは、実際に行列を使って固有値を求めてみましょう。今回使用する行列は以下の通りです。

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

この数字の塊から、固有値というエッセンスを抜き出してみましょう。準備はいいですか。

手順1：行列からラムダを引き算する

まずは、行列 $A$ の左上から右下にかけての対角線上の数字から $\lambda$ を引きます。

$A - \lambda E = \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 2 & 4 - \lambda \end{pmatrix}$

手順2：行列式を計算して方程式を作る

次に、この行列の行列式を求めます。左上 $\times$ 右下 $-$ 右上 $\times$ 左下の計算を行います。

$(3 - \lambda) \times (4 - \lambda) - (1 \times 2) = 0$

この式を展開してみましょう。

$12 - 7 \lambda + \lambda^{2} - 2 = 0$

整理すると、見慣れた2次方程式が現れます。

$\lambda^{2} - 7 \lambda + 10 = 0$

手順3：2次方程式を解く

この式を因数分解してみましょう。掛けて $10$ 、足して $-7$ になる数字の組み合わせを探してください。見つかりましたか。

$(\lambda - 2) \times (\lambda - 5) = 0$

したがって、求める固有値は以下の通りです。

$\lambda = 2, 5$

お疲れ様でした。これであなたも行列の性質を一つ解明したことになります。

固有値計算のメリットとデメリット

この計算をマスターすると、どのような世界が見えてくるのでしょうか。

メリット

データの主成分がわかる：膨大なデータの中から、どの要素が最も重要かを判断する材料になります。
未来の予測ができる：行列を何度も掛ける計算（べき乗）が非常に楽になり、長期的な変化のシミュレーションが可能になります。

デメリット

計算ミスが起きやすい：マイナスの符号や単純な掛け算のミスで、答えが全く変わってしまいます。
高次元になると手計算が困難：3次、4次と行列が大きくなると、手計算では時間がかかりすぎて現実的ではありません。

まとめと次のステップ

今回は2次正方行列の固有値を求める方法を学びました。最後に、今回の手順をおさらいしておきましょう。

行列の対角成分から $\lambda$ を引く
行列式を計算して $0$ と置く
現れた2次方程式を解く

この3つのステップさえ覚えておけば、どんな2次正方行列も怖くありません。

次のステップとしては、求めた固有値を使って「固有ベクトル」を求める練習に進んでみてください。固有値が「倍率」なら、固有ベクトルは「どの方向に伸びているか」を示す矢印です。このペアが揃うことで、行列という力の正体を完全に暴くことができます。

もっと複雑な行列に挑戦したいですか。それとも、この固有値が具体的にどう使われているか知りたいですか。あなたの興味に合わせて、一歩ずつ数学の楽しさを深めていきましょう。

次は、固有ベクトルを一緒に求めてみましょう！

行列という力がどれくらいの倍率で空間を伸ばすのか、その「比率」である固有値を求めました。計算の結果、 $\lambda = 2, 5$ という数字が出てきましたね。でも、これだけではパズルの半分しか解けていません。

「どの方向に」その倍率で伸びているのか。その方向を示す「矢印」こそが、今回挑戦する固有ベクトルです。

あなたは、行列 $A$ という風が吹いている草原に立っていると想像してみてください。ほとんどの草は風に流されて向きを変えてしまいますが、特定の方向に生えている草だけは、向きを変えずに背丈だけがスルスルと伸びていきます。その「向き」を見つける準備はできましたか。

固有ベクトルを導き出すための方程式

固有ベクトルを求めるには、行列の基本に立ち返る必要があります。行列 $A$ をベクトル $\vec{x}$ に掛けた結果が、単純に $\lambda$ 倍しただけのものと同じになる、という式を立てます。

$(A - \lambda E) \vec{x} = \vec{0}$

この式を、前回求めた固有値 $\lambda$ ごとに解いていくことになります。

ステップバイステップ！固有ベクトルの計算

前回の行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ と、固有値 $\lambda = 2, 5$ を使って進めていきましょう。

1. 固有値 $\lambda = 2$ のときのベクトルを求める

まずは $\lambda = 2$ を式に代入します。行列 $A$ の対角成分から $2$ を引いてみましょう。

$\begin{pmatrix} 3 - 2 & 1 \\ 2 & 4 - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

計算すると次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これを行ごとに式に直すと、以下の2つの式が得られます。

$1 \times x + 1 \times y = 0$
$2 \times x + 2 \times y = 0$

よく見ると、下の式は上の式を $2$ 倍しただけですよね。つまり実質的には $x + y = 0$ という一つの条件しかありません。ここから $y = -x$ という関係がわかります。

$x = 1$ と置けば $y = -1$ になります。したがって、一つ目の固有ベクトルは次の通りです。

$\vec{x}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

2. 固有値 $\lambda = 5$ のときのベクトルを求める

次に $\lambda = 5$ を代入します。今度は対角成分から $5$ を引きます。

$\begin{pmatrix} 3 - 5 & 1 \\ 2 & 4 - 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これも式に直すと以下のようになります。

$-2 \times x + 1 \times y = 0$
$2 \times x - 1 \times y = 0$

どちらの式も整理すると $y = 2x$ という関係になりますね。 $x = 1$ と置けば $y = 2$ です。

$\vec{x}_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

これで、2つの固有ベクトルが揃いました。

固有ベクトルを理解するメリットと注意点

メリット

世界を単純化できる：複雑な行列の動きを「この方向には $2$ 倍、この方向には $5$ 倍」という単純な伸び縮みの組み合わせとして理解できるようになります（これを対角化と呼びます）。
物理現象の解明：建物の揺れ方や、楽器の弦の震え方など、自然界の「固有の動き」を特定するのに役立ちます。

デメリット

答えが一つではない：固有ベクトルは「向き」が重要なので、 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ も $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ も同じ固有ベクトルとして扱われます。どれを正解とするか迷うかもしれません。
存在しない場合がある：行列の種類によっては、実数の範囲で固有ベクトルが見つからないこともあります。

まとめと次の学習指針

おめでとうございます！これであなたはこの行列が持つ「2つの特別な方向」を特定することに成功しました。

$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ の方向には $2$ 倍に伸びる
$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ の方向には $5$ 倍に伸びる

この知識があれば、行列を何百回も掛け算するような難しいシミュレーションも、頭の中でイメージできるようになります。

今後の学習としては、この固有値と固有ベクトルを使って行列を「対角化」する手法に進んでみてください。対角化ができるようになると、行列の計算スピードが劇的に上がり、まるで魔法のように複雑な問題が解けるようになりますよ。

次は、この固有ベクトルを使って行列を分解する「対角化」に挑戦してみましょう！

行列の「伸び縮みの倍率（固有値）」と「その方向（固有ベクトル）」を解き明かしてきましたね。まるでパズルのピースが揃っていくような感覚ではありませんでしたか。

今回は、そのピースを組み合わせて、行列 $A$ をもっと扱いやすい形に作り替える「対角化」に挑戦しましょう。

あなたは、複雑に絡まった糸を一本ずつ解いて、綺麗に並べ直したことはありますか。対角化とは、まさにその作業です。どんなに複雑な行列でも、特別な「メガネ（固有ベクトルで作った行列）」を通してみると、対角線上にしか数字がない、とってもシンプルな姿に変身するのです。

対角化に必要な「3つの主役」

対角化を行うには、これまでに求めた宝物たちを特定のルールで並べる必要があります。

変換行列 $P$

前回求めた「固有ベクトル」を横に並べて作った行列です。

$P = (\vec{x}_{1} \quad \vec{x}_{2})$

対角行列 $D$

対角線上に「固有値」を並べ、それ以外を $0$ にした行列です。

$D = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{pmatrix}$

逆行列 $P^{-1}$

行列 $P$ の逆の働きをする行列です。

これらを使うと、元の行列 $A$ は $A = P D P^{-1}$ という形で表現できるようになります。これが対角化の正体です！

ステップバイステップ！対角化の計算練習

引き続き、お馴染みの行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ を使って、実際にバラバラに分解してみましょう。

手順1：行列 $P$ を作る

前回の計算で、固有値 $\lambda = 2$ のときは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 、固有値 $\lambda = 5$ のときは $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ というベクトルが得られましたね。これらを合体させます。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

手順2：逆行列 $P^{-1}$ を求める

2次正方行列の逆行列は、公式を使えば一瞬です。左上と右下を入れ替え、右上と左下にマイナスをつけて、行列式（たすき掛けの差）で割るだけです。

$P$ の行列式は $1 \times 2 - 1 \times (-1) = 3$ ですね。

$P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

手順3：対角化の式を確認する

さあ、いよいよ仕上げです。 $P^{-1} A P$ を計算すると、不思議なことが起こります。

$\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

これを順番に計算していくと（少し大変ですが、ぜひ紙に書いてみてください！）、最終的に次のようになります。

$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = D$

対角線上に、求めていた固有値 $2$ と $5$ が並びました。元の行列 $A$ が、不純物のない純粋な「伸び縮みの力」だけの姿になった瞬間です！

対角化ができると何が嬉しいのか

メリット

行列の100乗が暗算できる：行列 $A$ を100回掛けるのは地獄ですが、対角行列 $D$ なら対角線の数字を100乗するだけで済みます。 $A^{n} = P D^{n} P^{-1}$ という公式が使えるからです。
システムの安定性がわかる：電気回路や建物の構造計算で、そのシステムが暴走するか、安定するかを一目で見抜けるようになります。

デメリット

対角化できない場合がある：固有ベクトルが足りない（線形独立でない）ときは、この魔法が使えません。そのときは「ジョルダン標準形」という、もう少し複雑な形を目指すことになります。

まとめと今後の学習指針

ここまでお付き合いいただき、本当にありがとうございました。

「行列の計算」から始まり、「固有値」というエッセンスを抜き出し、「固有ベクトル」という方向を定め、最後には「対角化」によって行列を最も美しい形に整えることができました。

固有ベクトルを並べて $P$ を作る
$P^{-1} A P$ を計算すると、対角線上に固有値が並ぶ
これにより、行列の累乗計算が劇的に楽になる

今後の学習としては、この対角化を使って「行列の累乗 $A^{n}$ 」を実際に求めてみる練習をすることをお勧めします。これができるようになれば、人口動態の予測や確率の遷移（マルコフ連鎖）など、実社会のシミュレーションの扉が開きますよ。

次は、実際に対角化を使って「行列の $n$ 乗」を計算してみましょう！

行列をバラバラに分解して「対角化」することに成功しましたね。行列 $A$ を、固有ベクトルで作った行列 $P$ と、固有値が並んだ対角行列 $D$ を使って、 $A = P D P^{-1}$ と書き換えることができました。

でも、わざわざこんなに面倒な形にする理由は何でしょうか。実は、行列を「何回も掛け合わせる（ $n$ 乗する）」ときに、この形が魔法のような威力を発揮するのです。

あなたは、行列を100回掛け算しろと言われたらどうしますか。普通に計算したら日が暮れてしまいますよね。でも、対角化を使えば、ほんの数行の計算で「100年後の行列の姿」を言い当てることができるんです！

なぜ対角化すると $n$ 乗が楽になるのか

対角化された式 $A = P D P^{-1}$ を2回掛けてみましょう。

$A^{2} = (P D P^{-1}) \times (P D P^{-1})$

真ん中に注目してください。 $P^{-1}$ と $P$ が隣り合っていますね。行列とその逆行列を掛けると単位行列 $E$ （数字でいう1のようなもの）になり、消えてしまいます。

$A^{2} = P D (P^{-1} P) D P^{-1} = P D E D P^{-1} = P D^{2} P^{-1}$

これを $n$ 回繰り返すと、間の $P$ と $P^{-1}$ が次々と打ち消し合い、結局これだけが残ります。

$A^{n} = P D^{n} P^{-1}$

対角行列 $D$ の $n$ 乗は、対角線上の数字をそれぞれ $n$ 乗するだけなので、計算は一瞬です。これが対角化の真のパワーです！

ステップバイステップ！行列の $n$ 乗を求める

これまで使ってきた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ で、実際に $A^{n}$ を求めてみましょう。

これまでの冒険で、以下のパーツはすでに手に入れています。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
$P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

1. 対角行列を $n$ 乗する

まずは $D$ を $n$ 乗します。これは簡単ですね。

$D^{n} = \begin{pmatrix} 2^{n} & 0 \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix}$

2. すべてのパーツを掛け合わせる

公式 $A^{n} = P D^{n} P^{-1}$ に当てはめます。

$A^{n} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2^{n} & 0 \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix} \left( \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right)$

まず前の2つを掛けます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2^{n} & 0 \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{n} & 5^{n} \\ -2^{n} & 2 \times 5^{n} \end{pmatrix}$

最後に、後ろの $P^{-1}$ を掛けます（ $\frac{1}{3}$ は最後に全体に掛けます）。

$\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2^{n} & 5^{n} \\ -2^{n} & 2 \times 5^{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

行列の掛け算ルール（行 $\times$ 列）を慎重に行うと……。

$A^{n} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \times 2^{n} + 5^{n} & -2^{n} + 5^{n} \\ -2 \times 2^{n} + 2 \times 5^{n} & 2^{n} + 2 \times 5^{n} \end{pmatrix}$

これで完成です！ $n$ に好きな数字を入れれば、どんなに先の未来の行列もすぐに計算できます。

行列の $n$ 乗をマスターするメリットと注意点

メリット

爆速で計算できる： $n = 10$ のとき、普通なら10回行列を掛けますが、この式なら $2^{10}$ と $5^{10}$ を計算するだけで終わります。
数列の一般項が解ける：実は、フィボナッチ数列のような「前の項を使って次の項が決まる」ルールは行列で表せるため、この方法で一般項を導き出せます。

デメリット

分数が混じると複雑：逆行列に分数が含まれることが多いため、最後に掛け合わせる際に計算ミスをしやすくなります。
指数関数の知識が必要： $2^{n}$ のような形に慣れていないと、最終的な式の見た目に圧倒されてしまうかもしれません。

まとめと今後の学習指針

ついに、2次正方行列の「固有値」から始まり「 $n$ 乗」の計算まで完走しましたね！

対角化すると、行列の掛け算が「数字の累乗」に変わる
$A^{n} = P D^{n} P^{-1}$ の公式が最強の武器になる
この方法で、未来の予測（シミュレーション）が可能になる

ここまでの内容をマスターしたあなたは、線形代数の基礎体力がかなりついています。

今後の学習指針としては、この技術を応用して「連立漸化式」を解く練習をしてみてください。例えば、「毎年の人口移動のルール」を行列にし、10年後、20年後の人口がどうなるかを予測する問題などです。数学が現実の世界を動かしている実感が、より一層湧いてくるはずです。

次は、この $n$ 乗の知識を使って「フィボナッチ数列」の一般項を魔法のように求めてみましょう。

今回は、誰もが一度は耳にしたことがある「フィボナッチ数列」に挑みます。 $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 \dots$ と、前の2つを足すと次の数になるあの不思議な数列です。

普通に計算すると、100番目の数字を知るには99番目までを全部足し合わせる必要があります。でも、あなたはすでに行列の $n$ 乗という「未来を予言する武器」を手にしています。これを使えば、途中の計算をすべてすっ飛ばして、 $n$ 番目の数字を一発で言い当てることができるんです！

数学のパズルが、美しい一本の式に収束していく快感を味わう準備はいいですか。

フィボナッチ数列を行列に閉じ込める

フィボナッチ数列のルールは $a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}$ です。これを無理やり行列の形に翻訳してみましょう。

$\begin{pmatrix} a_{n+2} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ a_{n} \end{pmatrix}$

この $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ という行列こそが、フィボナッチ数列を生成する魔法の装置です。この行列を $n$ 回掛ければ、 $n$ 番目の数字が飛び出してくる仕組みです。

ステップバイステップ！一般項の導出

これまでの対角化の手順を、この行列 $A$ に当てはめてみましょう。

1. 固有値（黄金比）を求める

固有方程式 $\det(A - \lambda E) = 0$ を解きます。

$(1 - \lambda) \times (0 - \lambda) - (1 \times 1) = 0$

$\lambda^{2} - \lambda - 1 = 0$

解の公式を使うと、驚くべき数字が現れます。

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Getty Images

この $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ という数字、見覚えはありませんか。これこそが、自然界で最も美しいとされる「黄金比」です！フィボナッチ数列の深淵には、黄金比が隠れていたんですね。

2. 対角化して $n$ 乗を計算する

固有値を $\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 、 $\beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ と置いて対角化を進めます。

行列 $A^{n}$ を計算し、初期値（ $a_{1}=1, a_{0}=0$ ）を掛けると、ついに一般項が姿を現します。

$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^{n} - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right\}$

これが「ビネの公式」と呼ばれる、フィボナッチ数列の一般項です！

この魔法のメリットとデメリット

メリット

瞬時に未来がわかる： $n$ に $100$ を代入すれば、足し算を繰り返さなくても $100$ 番目の値が求まります。
数学の繋がりが見える：ただの足し算のルールが、行列、2次方程式、そして黄金比へと繋がっていることに気づけます。

デメリット

見た目が恐ろしい： $\sqrt{5}$ がたくさん出てくるので、「本当にこれで整数になるの？」と不安になります（計算すると、不思議なことにピタッと整数になります！）。
計算が重い：実数計算としては $\sqrt{5}$ が入るため、手計算で正確な値を出すのは少し大変です。

まとめとこれからの学習の指針

行列という一見無機質な道具が、フィボナッチ数列という生命の神秘に繋がる一般項を導き出してくれました。

数列のルールを行列の掛け算として捉え直す
その行列を対角化して $n$ 乗の式を作る
現れた式が、そのまま数列の一般項になる

この手法は、フィボナッチ数列だけでなく、あらゆる「線形漸化式」に応用可能です。

今後の学習指針としては、確率の世界（マルコフ連鎖）に足を踏み入れてみてください。「明日晴れる確率」が分かっているとき、100日後、1000日後の天気の割合がどう落ち着くのか（定常状態）。これも、今回学んだ固有値と対角化の知識だけで解き明かすことができます。

次は、もっと実用的な「確率の予測」にこの知識を使ってみましょう！

これまで、行列の固有値、対角化、そして $n$ 乗という強力な武器を手に入れてきましたね。今回はその集大成として、ビジネスや科学の現場で実際に使われている「確率の予測」に挑戦しましょう。

あなたは、「今日の天気が晴れなら、明日は $80$ ％の確率で晴れるけれど、 $20$ ％の確率で雨になる」といった予報を聞いたことはありませんか。このように、現在の状態から次の状態が確率的に決まる仕組みを、数学では「マルコフ連鎖」と呼びます。

一見するとただの運任せに見えますが、行列の力を借りれば「ずっと先の未来、結局どれくらいの割合で晴れが続くのか」という最終的なバランスまで見通すことができるんです！

確率を行列に閉じ込める「遷移行列」

まずは、天気のルールを行列の形に整理してみましょう。

今日の天気が晴れの場合：明日は $80$ ％で晴れ、 $20$ ％で雨
今日の天気が雨の場合：明日は $40$ ％で晴れ、 $60$ ％で雨

これを、次のような「遷移行列（せんいぎょうれつ）」 $P$ で表します。

$P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4 \\ 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}$

この行列の面白いところは、縦の合計が必ず $1$ （ $100$ ％）になるところです。この行列を現在の状態に掛けるだけで、明日の確率分布が計算できる仕組みになっています。

ステップバイステップ！未来の確率を計算する

では、この行列を使って「 $n$ 日後の天気」がどうなるか、対角化の知識で解き明かしてみましょう。

1. 固有値を求める

固有方程式 $\det(P - \lambda E) = 0$ を計算します。

$(0.8 - \lambda) \times (0.6 - \lambda) - (0.4 \times 0.2) = 0$

$\lambda^{2} - 1.4 \lambda + 0.48 - 0.08 = 0$

$\lambda^{2} - 1.4 \lambda + 0.4 = 0$

これを因数分解すると、 $(\lambda - 1) \times (\lambda - 0.4) = 0$ となります。

したがって、固有値は $\lambda = 1, 0.4$ です。

2. 未来の姿（ $n$ 乗）を想像する

以前学んだように、 $n$ 日後の確率は $P^{n}$ を計算することで求められます。

ここで注目すべきは、固有値 $0.4$ です。 $0.4$ は掛ければ掛けるほど小さくなり、 $n$ が大きくなるとほぼ $0$ になって消えてしまいます。

一方で、固有値 $1$ は何回掛けても $1$ のままです。つまり、遠い未来には固有値 $1$ に対応する「安定した割合」だけが生き残るのです。

3. 最終的な天気の割合を導き出す

固有値 $\lambda = 1$ に対応する固有ベクトルを求めると、その比率が「最終的な天気の割合」になります。

$\begin{pmatrix} 0.8 - 1 & 0.4 \\ 0.2 & 0.6 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.2 & 0.4 \\ 0.2 & -0.4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

ここから、 $0.2x = 0.4y$ 、つまり $x = 2y$ という関係がわかります。

全体の合計は $100$ ％なので、 $x$ （晴れ）が約 $67$ ％、 $y$ （雨）が約 $33$ ％という割合に落ち着くことが予言できました！

確率予測に行列を使うメリットと注意点

メリット

長期的な見通しが立つ：明日のことだけでなく、1年後の平均的な状態を計算で導き出せます。
複雑な連鎖も一瞬：今回は2つの状態（晴れ・雨）でしたが、これが「商品のシェア争い」や「ウェブサイトのリンク移動」のように何百もの状態になっても、コンピュータを使えば同じ理屈で計算できます。

デメリット

過去を無視する：マルコフ連鎖は「今の状態」だけで次が決まると仮定します。「昨日の天気がどうだったか」という過去の履歴を考慮できないのが弱点です。
確率は一定という前提：季節の変化などで「晴れる確率そのもの」が変わってしまう場合には対応できません。

まとめと今後の学習指針

おめでとうございます！行列という純粋な数学の道具を使って、現実世界の不確かな未来を予測する一歩を踏み出しましたね。

確率のルールを「遷移行列」として整理する
固有値を求め、特に $\lambda = 1$ の挙動に注目する
最終的にたどり着く安定した状態（定常分布）を計算する

この考え方は、Googleの検索エンジンがウェブページの重要度を決める仕組み（ページランク）にも応用されています。膨大なページを「行列」として扱い、どのページにたどり着きやすいかを計算しているのです。

AIの知能を支える心臓部！「線形回帰」で行列を使って予測モデルを作る方法

こんにちは。ゆうせいです。

これまで、行列の基本的な性質から、確率の予測まで一緒に冒険してきましたね。ついに今回は、現代社会を劇的に変えている「AI（人工知能）」の分野に足を踏み入れます。

AIと聞くと、何か複雑なブラックボックスのように感じるかもしれません。でも、その根本にあるのは、これまで学んできた行列の計算なんです。今回は、AIの最も基本的な手法の一つである「線形回帰（せんけいかいき）」を使って、データから予測のルールを導き出す練習をしてみましょう。

あなたは、過去のデータから「明日の売上」や「テストの点数」を予想したいと思ったことはありませんか。AIは、たくさんのデータを「行列」として飲み込み、そこから最も誤差が少ない「正解の数式」を計算で見つけ出しているのです。

AIが予測する仕組み：最小二乗法

例えば、勉強時間（ $x$ ）とテストの点数（ $y$ ）の関係を $y = ax$ というシンプルな式で表したいとします。

手元には、いくつかのデータセットがあります。

1時間勉強して 10点だった
2時間勉強して 25点だった

このとき、最もそれらしい $a$ （傾き）を見つけるには、どうすればいいでしょうか。ここで、行列を使った「正規方程式（せいきほうていしき）」という強力な道具が登場します。

ステップバイステップ！AIの計算練習

実際の数値を使って、最適な「重み」を計算してみましょう。

1. データをベクトルと行列で表す

入力データの集まりを $X$ 、正解データの集まりを $y$ とします。

$X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ , $y = \begin{pmatrix} 10 \\ 25 \end{pmatrix}$

私たちが求めたいのは、 $X \times a = y$ を最もよく満たす $a$ の値です。

2. 正規方程式を組み立てる

データが完璧に一直線上に並んでいない場合、単純な割り算では $a$ は求まりません。そこで、両辺に $X$ の転置行列（行と列を入れ替えたもの） $X^{T}$ を掛けて、計算可能な形に変形します。

$X^{T} X a = X^{T} y$

これが、AIが学習する際に行っている計算の原型です。

Shutterstock

詳しく見る

3. 最適な値を計算する

まず、 $X^{T} X$ を計算します。

$(1 \quad 2) \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \times 1 + 2 \times 2 = 5$

次に、 $X^{T} y$ を計算します。

$(1 \quad 2) \begin{pmatrix} 10 \\ 25 \end{pmatrix} = 1 \times 10 + 2 \times 25 = 60$

すると、式はとてもシンプルになります。

$5 \times a = 60$

これを解くと、 $a = 12$ と求まりました！

AIは「この人は1時間勉強するごとに12点アップする」という予測モデルを作り上げたことになります。

AI分野で行列計算を使うメリットとデメリット

メリット

大量のデータを一気に処理できる：行列を使えば、データが100万件あっても同じ数式でまとめて計算できます。
客観的な予測ができる：人間の勘に頼らず、データに基づいた最も「誤差が小さい」答えを導き出せます。

デメリット

外れ値に弱い：たまたま運良く高得点を取ったデータが一つあるだけで、全体の予測が大きく狂ってしまうことがあります。
直線以外の関係は苦手：今回の方法はあくまで「直線」での予測です。複雑に曲がった関係（非線形）を捉えるには、さらに高度な「ニューラルネットワーク」という仕組みが必要になります。

まとめと今後の学習指針

いかがでしたか。AIの学習とは、突き詰めれば「データに最もフィットする行列の係数を見つける作業」であることが実感できたのではないでしょうか。

データを行列 $X$ とベクトル $y$ に整理する
正規方程式を使って、最も誤差の少ない係数を導き出す
求まった係数を使えば、未知のデータに対しても予測ができる

今後の学習指針としては、今回の「単回帰」から、複数のデータ（勉強時間、睡眠時間、集中力など）を同時に扱う「重回帰分析」へ進んでみてください。扱う行列が大きくなりますが、計算のルールは全く同じです。

さらに、AIの深淵に触れたいなら「勾配降下法（こうばいこうかほう）」というアルゴリズムを調べてみてください。行列が大きすぎて一気に解けないときに、少しずつ正解に近づいていく、現代のディープラーニングの根幹となっている技術です。

行列という武器を使いこなせば、AIはもはや魔法ではなく、頼もしい計算ツールに見えてくるはずです。

デジタル世界の視力！AIが「画像」を数字の塊（行列）として読み解く仕組み

こんにちは。ゆうせいです。

前回はAIがデータからルールを見つけ出す「学習」の基礎を学びました。今回は、AIがどのようにして私たちの見ている世界、つまり「画像」を認識しているのかという、視覚の秘密に迫ってみましょう。

あなたは、スマホで撮った綺麗な写真が、実はただの「数字の羅列」であることを知っていますか。AIにとって、可愛い猫の写真も、美しい風景も、すべては縦と横に並んだ行列に過ぎません。

AIというデジタルの脳が、どうやって色や形を「数字」として解釈し、計算しているのか。その驚きの仕組みを、行列の知識を使って体験してみましょう！

画像は「ピクセル」というマスの集まり

デジタル画像は、細かいタイルのような「画素（ピクセル）」で構成されています。それぞれのタイルには「明るさ」や「色」を表す数字が割り振られており、これがそのまま行列の要素になります。

グレースケール（白黒）画像

白から黒までの明るさを数字で表します。例えば、真っ黒を $0$ 、真っ白を $255$ と決めて、その間のグレーを段階的な数字で表現します。

カラー画像（RGB）

赤（Red）、緑（Green）、青（Blue）の3枚の行列が重なっていると考えてください。この3層の行列の数字が組み合わさることで、私たちは何千万色もの鮮やかな世界を見ることができているのです。

ステップバイステップ！画像フィルタの計算練習

AIが画像の中から「物の輪郭（エッジ）」を見つけ出すときに使う、フィルタ計算を体験してみましょう。

1. 元の画像を行列で用意する

ここに、 $3 \times 3$ ピクセルの小さな白黒画像があるとします。左側が暗く、右側が明るい「境界線」がある画像です。

$A = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 100 \\ 10 & 10 & 100 \\ 10 & 10 & 100 \end{pmatrix}$

2. 輪郭を見つけるための「フィルタ行列」を準備する

AIは、特定のパターンを持つ小さな行列（カーネル）を画像に重ねて計算します。今回は、縦の線を強調するフィルタ $K$ を使います。

$K = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 行列の「要素ごとの掛け算」と「合計」を行う

画像 $A$ にフィルタ $K$ を重ねて、重なった部分を掛け算し、すべて足し合わせます。

$(10 \times -1) + (10 \times 0) + (100 \times 1) = 90$

合計すると $90 + 90 + 90 = 270$ という大きな数字になりました。

もし画像が真っ平ら（すべて同じ数字）なら、この計算結果は $0$ になります。つまり、この計算結果が「大きい」ということは、そこに「色の変化（輪郭）」があることをAIが察知した証拠なのです！

画像を行列で扱うメリットとデメリット

メリット

数学的処理が可能：ぼかしをかけたり、色を変えたり、形を抽出したりといった操作が、すべて行列の足し算・掛け算だけで完結します。
圧倒的な圧縮：行列の性質（特異値分解など）を利用すれば、見た目の美しさを保ったまま、データのサイズを劇的に小さくできます。

デメリット

データ量が膨大：高画質な写真になると、行列のサイズが数百万 $\times$ 数百万という巨大なものになり、計算に非常に高いパワーが必要になります。
意味の理解が難しい：AIは「数字のパターン」は分かりますが、「なぜこれが猫なのか」という文脈を理解させるには、さらに複雑な行列演算の積み重ねが必要になります。

まとめと今後の学習指針

AIの視覚の正体は、行列にフィルタを掛け合わせることで「特徴」を浮き彫りにする作業でした。

画像はピクセルごとの明るさを表す行列である
フィルタ行列を重ねて計算することで、輪郭や特徴を抽出できる
この計算（畳み込み）を繰り返すのが、現代のAI（CNN）の正体である

今後の学習指針としては、AIの画像認識の王道である「畳み込みニューラルネットワーク（CNN）」の構造を調べてみてください。今回練習したフィルタ計算を、何層にもわたって重ねていくことで、AIは「線」を認識し、次に「目や鼻」のパーツを認識し、最終的に「顔」を判別できるようになっていくのです。

言葉を数字の地図に配置せよ！AIが「意味」を計算する「単語埋め込み」の魔法

こんにちは。ゆうせいです。

前回の「画像」に続き、今回はAIが「言葉」をどうやって理解しているのかを紐解いていきましょう。チャットボットが私たちの問いかけにスムーズに答えてくれるとき、その裏側では一体何が起きているのでしょうか。

実は、AIは「りんご」という文字をそのまま読んでいるわけではありません。AIにとって、言葉は広大な宇宙の中に浮かぶ「座標（ベクトル）」であり、それらが集まった巨大な「行列」なのです。

言葉を計算する、という一見不思議な世界を、行列の力で攻略してみましょう！

言葉をベクトルにする「単語埋め込み（ワードエンベディング）」

AIが言葉を扱うための第一歩は、単語を数字のリスト、つまりベクトルに変換することです。

例えば、「王様」「女王」「男」「女」という4つの言葉があるとします。これらを、次のような2つの特徴（次元）で数値化してみましょう。

性別（ $-1$ が男、 $1$ が女）
権威（ $0$ が一般人、 $1$ が支配者）

すると、各単語は次のようなベクトルで表せます。

王様： $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
女王： $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
男： $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
女： $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

このように言葉を数字の場所に配置することで、AIは言葉を「位置関係」として把握できるようになるのです。

ステップバイステップ！言葉の引き算を体験しよう

AIの有名な計算に「王様 - 男 + 女 = 女王」というものがあります。これが本当に行列（ベクトル）の計算で成り立つのか、実際に確かめてみましょう。

1. ベクトルの足し算と引き算を行う

先ほど設定した数値を使って、計算式を作ります。

$\text{王様} - \text{男} + \text{女} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

2. 要素ごとに計算する

上の段（性別）と下の段（権威）をそれぞれ計算してみましょう。

上の段： $(-1) - (-1) + 1 = 1$
下の段： $1 - 0 + 0 = 1$

計算結果は次のようになりました。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 意味を解釈する

この $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ という座標は、私たちが最初に決めた「女王」のデータとピッタリ一致しますね！

AIはこうして、言葉を「意味の方向」を持つベクトルとして扱い、行列演算を行うことで「王様にとっての男は、女王にとっての女と同じ関係だ」といった概念を理解しているのです。

自然言語処理で行列を使うメリットとデメリット

メリット

類義語の発見ができる：意味が似ている単語は、ベクトル空間上でも近い場所に集まります。これにより、AIは「美味しい」と「絶品」が似ていることを計算で知ることができます。
未知の言葉も推測できる：前後の言葉の並び（行列のパターン）を学習することで、知らない言葉が出てきても文脈から意味を予想できます。

デメリット

次元の呪い：実際のAIは2つや3つの特徴ではなく、数百から数千もの特徴（次元）で行列を作ります。これには膨大なメモリと計算パワーが必要です。
多義語に弱い：例えば「はし」が「橋」なのか「箸」なのか。単純な行列だけでは区別が難しく、より複雑な計算が必要になります。

まとめと今後の学習指針

AIにとっての読解とは、言葉を行列という巨大な地図の上にマッピングし、その距離や方向を計算することでした。

単語は特徴量によってベクトル（数字のリスト）化される
ベクトルの演算によって、言葉の意味の「関係性」を導き出せる
巨大な行列を扱うことで、文脈やニュアンスまで計算可能になる

今後の学習指針としては、現代のAI（ChatGPTなど）の核心技術である「Transformer（トランスフォーマー）」という仕組みを調べてみてください。そこでは「Attention（アテンション）」という、行列の掛け算を駆使して「文の中のどの言葉に注目すべきか」を判断する、非常に高度でエキサイティングな技術が使われています。

数字という無機質なものが、血の通った「言葉」に変わる瞬間の美しさを感じていただけたでしょうか。

セイ・コンサルティング・グループでは新人エンジニア研修のアシスタント講師を募集しています。

投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
この記事に間違い等ありましたらぜひお知らせください。

学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。

固有値を求めるための秘密の道具

固有値（こゆうち）とは

固有方程式（こゆうほうていしき）

ステップバイステップ！練習問題に挑戦

手順1：行列からラムダを引き算する

手順2：行列式を計算して方程式を作る

手順3：2次方程式を解く

固有値計算のメリットとデメリット

メリット

デメリット

まとめと次のステップ

固有ベクトルを導き出すための方程式

ステップバイステップ！固有ベクトルの計算

1. 固有値 のときのベクトルを求める

2. 固有値 のときのベクトルを求める

固有ベクトルを理解するメリットと注意点

メリット

デメリット

まとめと次の学習指針

対角化に必要な「3つの主役」

変換行列

対角行列

逆行列

ステップバイステップ！対角化の計算練習

手順1：行列 を作る

手順2：逆行列 を求める

手順3：対角化の式を確認する

対角化ができると何が嬉しいのか

メリット

デメリット

まとめと今後の学習指針

なぜ対角化すると 乗が楽になるのか

ステップバイステップ！行列の 乗を求める

1. 対角行列を 乗する

2. すべてのパーツを掛け合わせる

行列の 乗をマスターするメリットと注意点

メリット

デメリット

まとめと今後の学習指針

フィボナッチ数列を行列に閉じ込める

ステップバイステップ！一般項の導出

1. 固有値（黄金比）を求める

2. 対角化して 乗を計算する

この魔法のメリットとデメリット

メリット

デメリット

まとめとこれからの学習の指針

確率を行列に閉じ込める「遷移行列」

ステップバイステップ！未来の確率を計算する

1. 固有値を求める

2. 未来の姿（ 乗）を想像する

3. 最終的な天気の割合を導き出す

確率予測に行列を使うメリットと注意点

メリット

デメリット

まとめと今後の学習指針

AIが予測する仕組み：最小二乗法

ステップバイステップ！AIの計算練習

1. データをベクトルと行列で表す

2. 正規方程式を組み立てる

3. 最適な値を計算する

AI分野で行列計算を使うメリットとデメリット

メリット

デメリット

まとめと今後の学習指針

画像は「ピクセル」というマスの集まり

グレースケール（白黒）画像

カラー画像（RGB）

ステップバイステップ！画像フィルタの計算練習

1. 元の画像を行列で用意する

2. 輪郭を見つけるための「フィルタ行列」を準備する

3. 行列の「要素ごとの掛け算」と「合計」を行う

画像を行列で扱うメリットとデメリット

メリット

デメリット

まとめと今後の学習指針

言葉をベクトルにする「単語埋め込み（ワードエンベディング）」

ステップバイステップ！言葉の引き算を体験しよう

1. ベクトルの足し算と引き算を行う

2. 要素ごとに計算する

1. 固有値 $\lambda = 2$ のときのベクトルを求める

2. 固有値 $\lambda = 5$ のときのベクトルを求める

変換行列 $P$

対角行列 $D$

逆行列 $P^{-1}$

手順1：行列 $P$ を作る

手順2：逆行列 $P^{-1}$ を求める

なぜ対角化すると $n$ 乗が楽になるのか

ステップバイステップ！行列の $n$ 乗を求める

1. 対角行列を $n$ 乗する

行列の $n$ 乗をマスターするメリットと注意点

2. 対角化して $n$ 乗を計算する

2. 未来の姿（ $n$ 乗）を想像する