アフィン変換の名前の由来と数学的な仕組みおよびAI技術での活用

2026年9月8日 2026年9月8日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

画像編集ソフトで写真の大きさを変えたり、人工知能が画像データを認識したりする処理の背景には、アフィン変換と呼ばれる計算手法が使われています。数学や情報技術の分野で幅広く用いられている技術ですが、なぜアフィンという名前がついているのか疑問を持つ方も少なくありません。

この記事では、アフィン変換の言葉の起源と数学的な仕組み、そして現代の人工知能技術においてどのような役割を果たしているのかを順を追って解説します。

アフィン変換という名称の起源

アフィン変換のアフィン（Affine）は、ラテン語の単語である affinis（アフィニス）に由来しています。

ラテン語における語源の意味

affinis は、隣接した、境界を接する、あるいは親戚関係にあるという意味を持つ言葉です。英語の affinity（親近性、類似性）と同じ語源にあたります。

数学においてこの言葉を導入したのは、18世紀のスイスの数学者レオンハルト・オイラーです。オイラーは幾何学の性質を調べる中で、変換前の図形と変換後の図形が完全には一致しないものの、一定の密接な関係を保ち続けている状態を表すためにこの単語を採用しました。

アフィン変換が保ち続ける図形の性質

図形の形状が変化しても失われない幾何学的な性質があるため、変換前の図形と変換後の図形の間には親類のような関連性が認められます。

高校の数学で例えると、透明なゴムシートの上に方眼紙のマス目を描き、そのシートを均等に引っ張ったり斜めにずらしたりする操作に近いです。シートを引っ張ると正方形は平行四辺形に歪みますが、直線が途中で曲がることはなく、平行だった線同士が交わることもありません。

アフィン変換では、以下の幾何学的性質が変化せずに保持されます。

直線性の維持（変換前の直線は、変換後も直線の形状を保ちます）
平行性の維持（変換前に平行であった2本の直線は、変換後も交わらず平行なまま保たれます）
線分比の維持（直線の真ん中にある点は、変換後もその直線の真ん中に位置し続けます）

このように平行関係や長さの比率といった基本的な構造が維持されることから、変換前後の図形が親しい間柄にあるとみなされ、アフィン変換と呼ばれています。

アフィン変換の数学的構成

アフィン変換は、線形変換と呼ばれる計算処理と平行移動を組み合わせたものです。

線形変換と平行移動の合成

線形変換とは、原点 (0, 0) の位置を動かさずに、空間を拡大、縮小、回転させたり、斜めに歪ませたりする操作を指します。

しかし、原点を固定する線形変換だけでは、図形全体を別の場所へ移動させる平行移動を表すことができません。そこで、線形変換の計算結果に平行移動の数値を足し合わせることで、図形の変形と移動を同時に処理できるようにした計算がアフィン変換です。

2次元平面上の座標 (x, y) を新しい座標 (x', y') に変換する計算を行列の数式で表すと、以下のようになります。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}$

左側の2行2列の行列に含まれる数値 a, b, c, d が拡大や縮小、回転、歪みの変形を担当し、右側に足される数値 e, f が縦方向と横方向の平行移動を担当します。

人工知能（AI）におけるアフィン変換の役割

現代の人工知能技術、特に画像認識や深層学習（ディープラーニング）の領域において、アフィン変換は不可欠な基盤処理として機能しています。

画像認識におけるデータ拡張

画像認識モデルを学習させる際、手元にある画像データを回転させたり、少し傾けたり、拡大や縮小を行ったりして人為的に学習データの数を増やす手法が存在します。この手法をデータ拡張と呼びます。アフィン変換を用いることで、被写体の比率や直線性といった本質的な特徴を壊すことなく、異なる角度や位置からの見え方を再現した画像を機械的に大量生成できます。

ニューラルネットワークの内部計算

ディープラーニングの基本単位である全結合層の計算も、アフィン変換の構造を持っています。入力データに対して重みと呼ばれる数値を掛け合わせ（線形変換）、バイアスと呼ばれる数値を足す（平行移動）処理は、アフィン変換の計算式そのものです。

アフィン変換の長所と短所

画像処理や人工知能の計算基盤として多用されるアフィン変換には、明確な利点と制限が存在します。

長所

複数の幾何変換の一括処理：拡大、縮小、回転、平行移動という異なる幾何学的操作を、単一の行列演算としてまとめて計算できます。
計算負荷の低さ：直線と平行関係が維持されるため、境界となる角の座標を計算するだけで全体の変形を完了でき、コンピュータの計算資源を過度に消費しません。

短所

遠近感の欠落：平行な線が保たれ続けるため、奥に行くほど狭まるような遠近法（透視投影）を表現できません。
曲面の歪みへの非対応：直線を曲線に曲げるような複雑な変形処理を行うことはできません。

まとめ

アフィン変換の理解を深めるための手順は以下の通りです。

語源の確認：ラテン語で親戚関係を意味する affinis に由来し、変形前後で平行性や直線性といった親密な関係が保持される点を確認します。
幾何学的性質の把握：直線が直線のままであること、平行線が交わらないこと、比率が保たれることの3点を理解します。
線形代数の基礎習得：拡大や回転を担当する行列の掛け算と、平行移動を担当するベクトルの足し算という2つの計算ステップを学習します。
人工知能技術への適用理解：機械学習におけるデータ拡張処理や、ニューラルネットワークの順伝播計算においてアフィン変換がどのように使われているかを照らし合わせます。

この順序で学習を進めることで、数学の幾何学理論から現代のAIプログラミングの実務に至るまでのつながりを整理して習得できます。

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
海外放浪の末、2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
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学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。