「∞」「lim」「→」の記号はどこから来た？解析学・極限記号の歴史をたどる
山崎講師こんにちは。ゆうせいです。
今回は、極限や無限に関する記号を取り上げます。
極限や収束、無限大といった概念は、主に解析学（calculus and analysis）の分野で登場しますが、私たちが使っている「lim」や「→」、「∞（無限大）」といった記号にも、それぞれ誕生の経緯があります。
いったいこれらの記号は、いつ・誰が・なぜ使い始めたのか？
今回は、信頼できる記録をもとに、歴史的事実に基づいて解説していきます。
「∞」無限大の記号はどこから？
意味と定義
- 記号「∞」は、「果てしなく大きな数（無限大）」を表す。
- 読み方は「むげんだい」「infinity」。
- 数学的には、極限や級数、集合論などで使用されるが、「数」そのものではなく概念を表す。
記号の起源
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 初出 | 1655年 |
| 使用者 | ジョン・ウォリス（John Wallis） |
| 著書 | 『De sectionibus conicis（円錐曲線について）』 |
- 「∞」という形は、「数字の8を横に倒したもの」に似ており、実際にローマ数字の 1000 を省略した記号「CIƆ」や、ギリシア語の文字 ω（オメガ）との関係も指摘されているが、ウォリス自身は明確な理由を述べていない。
- ウォリスはこの記号を「終わりのない量」として紹介した。
「lim」極限を表す記号の起源
意味と定義
- 「lim」は、「limit（限界、極限）」の略であり、「x が a に近づくときの f(x) の極限値」を表す。
記号の導入
- 導入時期：18世紀後半から19世紀初頭にかけて
- 表記を整備した人物：カール・ワイエルシュトラス（Karl Weierstrass）
- 言語的由来：英語およびラテン語の “limit” に基づく略記。
実際に「lim」という略語としての使用が定着したのは、19世紀の微積分教育の中で、解析の厳密化（rigorization）が進んだ結果とされる。
ワイエルシュトラスは、ε-δ論法と共にこの記法を広めた。
「→」収束の記号はどこから？
意味と定義
- 「aₙ → L」 は、「数列 aₙ が L に収束する」という意味。
- 極限、収束、関数の振る舞いなど、解析全般で用いられる。
記号の導入
| 記号 | 意味 | 導入者 | 初出 |
|---|---|---|---|
| → | 極限・収束 | デイヴィッド・ヒルベルト（David Hilbert） | 1922年 |
- ヒルベルトは論理記号として「→」を導入し、その後解析の中でも広く使われるようになった。
- 現在では「→」のほかに、「⇒」「⇨」などが状況によって使い分けられている。
ε-δ 論法と記号の活用
極限の定義として最もよく知られている形式が「ε-δ（イプシロン・デルタ）論法」です。
この中で以下の記号が使われます：
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| ∀ | 任意の（for all） |
| ∃ | 存在する（there exists） |
| ⇒ | 含意（ならば） |
| → | 極限・収束 |
| lim | 極限値（limit） |
| ε, δ | 任意の正の実数 |
これにより、極限の性質が厳密な論理式として定義できるようになったのです。
その他の極限関連記号
| 記号 | 意味 | 備考 |
|---|---|---|
| lim sup\limsup | 上極限（limit superior） | 上に発散しうる極限の上限を取る |
| lim inf\liminf | 下極限（limit inferior） | 下に発散しうる極限の下限を取る |
| →∞\to\infty | 無限大への収束 | 「x → ∞」は「x が無限に増加する」意味 |
| →0\to 0 | 0への収束（微小） | 特に導関数や積分の極限で頻出 |
参考文献
セイ・コンサルティング・グループの新人エンジニア研修のメニューへのリンク
投稿者プロフィール
- 代表取締役
-
セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
この記事に間違い等ありましたらぜひお知らせください。
