【二項分布入門】コインを10回投げたら表は何回出る？確率の「山」を予測しよう

2026年1月7日 2026年1月7日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

前回は、コイン投げを1回だけ行うベルヌーイ分布についてお話ししましたね。結果が成功（1）か失敗（0）しかない、とてもシンプルな世界でした。

でも、現実の世界では、1回だけの勝負で終わることばかりではありませんよね。

コインを10回投げて、表が何回出るか知りたい。
ソシャゲのガチャを100回引いて、SSRが何枚出るか予測したい。
工場で製品を1000個作って、不良品がいくつ出るか管理したい。

このように、同じことを何回も繰り返したとき、成功は何回くらい起きるのだろうかという疑問に答えてくれるのが、今回紹介する二項分布（にこうぶんぷ）です。

名前は少し堅苦しいですが、中身は前回のベルヌーイ分布の応用編にすぎません。肩の力を抜いて、一緒に見ていきましょう。

二項分布とは？「繰り返し」の世界

二項分布とは、一言で言うとベルヌーイ試行をn回繰り返したときの、成功回数の確率分布です。

ちょっと難しい言葉が並びましたね。分解して考えましょう。

ベルヌーイ試行：結果が成功か失敗の2つしかない実験（コイン投げなど）。成功確率を $p$ とします。
n回繰り返す：コインを10回投げるなら、 $n = 10$ です。
成功回数：10回のうち、表が3回出るかもしれないし、7回出るかもしれません。この回数を $k$ とします。

つまり、成功確率 $p$ のコインを $n$ 回投げたとき、表がちょうど $k$ 回出る確率はどれくらい？を計算するための道具が二項分布なのです。

確率を計算してみよう

では、具体的に計算してみましょう。少しだけ高校数学の記憶を呼び起こしてくださいね。

例として、表が出る確率が $0.5$ （つまり $p = 0.5$ ）のコインを、3回投げる（ $n = 3$ ）場合を考えてみましょう。

ここで、ちょうど表が2回出る（ $k = 2$ ）確率はいくらでしょうか。

1. パターンを書き出す

3回中2回表が出るパターンは、以下の3通りがあります。（表を○、裏を×とします）

○、○、×
○、×、○
×、○、○

2. 1つのパターンの確率を計算する

まず、1番目の「○、○、×」となる確率を計算します。それぞれの確率は $0.5$ なので、全部掛け合わせます。

$0.5 \times 0.5 \times (1 - 0.5) = 0.5^2 \times 0.5^1 = 0.125$

他の2つのパターンも、順番が違うだけで計算結果は同じ $0.125$ になります。

3. 全部のパターンを足し合わせる

パターンは全部で3通りありました。なので、合計の確率はこうなります。

$0.125 + 0.125 + 0.125 = 3 \times 0.125 = 0.375$

つまり、37.5%の確率で、表がちょうど2回出るということです。

公式で見てみよう（反復試行の確率）

これを一般的な公式にすると、高校数学で習った反復試行の確率の式になります。

$P(X=k) = {}_nC_k \times p^k \times (1-p)^{n-k}$

うわっ、難しそうと思わないでください。これも分解すれば単純です。

$p^k \times (1-p)^{n-k}$ これは先ほどの「○、○、×」のような、特定の1パターンの確率を計算しています。成功が $k$ 回、失敗が残りの $n-k$ 回起きる確率ですね。
${}_nC_k$ （コンビネーション）これは「組み合わせの数」です。先ほどの例で「3通りあった」という部分を計算しています。 $n$ 回のうち、どの場所で $k$ 回成功するかを選ぶ組み合わせの数ですね。

この公式を使えば、100回中30回成功する確率なども計算できるようになります。

期待値と分散：合計するだけでOK

次に、二項分布の期待値（平均）と分散を見てみましょう。

これは前回のベルヌーイ分布の知識があれば、驚くほど簡単です。

なぜなら、二項分布はベルヌーイ分布をn回足し合わせたものだからです。

期待値（平均成功回数）

ベルヌーイ分布（1回）の期待値は $p$ でした。

それを $n$ 回繰り返すのですから、単純に $n$ 倍すればいいだけです。

$E[X] = n \times p$

たとえば、表が出る確率 $p=0.5$ のコインを $n=10$ 回投げたら、表は何回くらい出ると期待できますか。

$10 \times 0.5 = 5$ 回ですね。直感的にも納得できるはずです。

分散（ばらつき具合）

分散も同じです。それぞれの試行が独立している（お互いに影響しない）場合、分散も足し合わせることができます。

ベルヌーイ分布（1回）の分散は $p(1-p)$ でした。

これを $n$ 個足し合わせます。

$V[X] = n \times p(1-p)$

これが二項分布の分散です。回数 $n$ が増えれば増えるほど、ばらつきの合計も大きくなっていくことがわかります。

二項分布のメリットとデメリット

メリット

シンプルで強力：成功か失敗かという単純な仕組みだけで、選挙の得票予測から製品の品質管理まで、幅広い現実の問題をモデル化できます。
直感的：期待値が $np$ になるなど、結果が直感と一致しやすく理解しやすいです。

デメリット（限界）

計算が大変：試行回数 $n$ が1000回、1万回と大きくなると、先ほどの ${}_nC_k$ の計算がとてつもなく大変になります。コンピュータでも計算しきれなくなることがあります。

まとめと次のステップ

いかがでしたか。

二項分布は、前回のベルヌーイ分布を $n$ 回繰り返しただけの、兄弟のような関係だということがお分かりいただけたでしょうか。

二項分布：成功確率 $p$ の勝負を $n$ 回やったときの、成功回数の分布。
期待値： $np$
分散： $np(1-p)$

さて、デメリットのところで回数nが大きすぎると計算が大変という話をしました。

では、1万回コインを投げるときのような、回数がとても多い場合はどうすればいいのでしょうか。

実は、回数 $n$ をどんどん大きくしていくと、二項分布のグラフは、統計学の王様とも言えるある有名な形に近づいていくのです。

それが正規分布（ガウス分布）です。

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
この記事に間違い等ありましたらぜひお知らせください。

学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。