内積の覚え方｜「同じ番号どうし掛けて足す」で計算と図形の意味を教える方法

2026年11月14日 最終更新日時 : 2026年11月14日 山崎講師山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

内積は、線形代数の研修で最初に出てくる計算の1つです。計算そのものは簡単ですが、「ベクトルどうしを掛けたのに答えが数になるのはなぜか」「答えの数が何を表しているのか」が分からないまま進んでしまう受講者が多くいます。

今回は、内積を「同じ番号どうし掛けて足す」という覚え方で教え、答えの符号から2本のベクトルの向きの関係を読み取る方法までを紹介します。計算と意味を1枚にまとめた図と、受講者に解いてもらう練習問題も用意しました。

内積の覚え方：同じ番号どうし掛けて足す。内積の符号が正なら同じ向き寄り、0なら直交、負なら逆向き寄り

内積の計算方法

覚え方は1文

内積の計算は、次の1文にまとめられます。

  • 2本のベクトルの、同じ番号の成分どうしを掛けて、すべて足す

2次元のベクトル a = (a1, a2) と b = (b1, b2) の内積は、次の式で表します。

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

各記号の意味は次のとおりです。

  • a1, b1：それぞれのベクトルの1番目の成分（x 成分）
  • a2, b2：それぞれのベクトルの2番目の成分（y 成分）
  • ・（ドット）：内積を表す記号。英語では dot product（ドット積）と呼びます

数値で確認する

a = (1, 2), b = (3, 1) の内積を計算します。

  • 1番目どうし：1 × 3 = 3
  • 2番目どうし：2 × 1 = 2
  • 足す：3 + 2 = 5

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \times 3 + 2 \times 1 = 5

ベクトルどうしの計算ですが、答えはベクトルではなく、5 という1つの数になります。この点が内積の大きな特徴です。

3次元以上でも同じ

成分が増えても、手順は変わりません。3次元のベクトルでは、3つの積を足します。

(1, 2, 3) \cdot (4, 5, 6) = 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 = 32

機械学習では、数百や数千の成分を持つベクトルの内積を計算しますが、「同じ番号どうし掛けて足す」という手順はまったく同じです。

受講者がつまずきやすい点

  • 答えをベクトルで書いてしまう：(3, 2) のように、掛けた結果を並べて終わる誤りです。「最後に足して1つの数にする」ことを強調します
  • 違う番号どうしを掛けてしまう：1 × 1 + 2 × 3 のように、成分を斜めに組み合わせる誤りです。図のように、同じ番号を縦にそろえて囲むと防げます
  • 成分の数が違うベクトルどうしで計算しようとする：内積は、成分の数が等しいベクトルどうしでしか計算できません

練習問題1

次の内積を計算してください。

(1) (2, 3)・(4, -1)

(2) (1, 2)・(-2, 1)

(3) (1, -1)・(-2, 3)

解答と解説

(1) 2 × 4 + 3 × (-1) = 8 - 3 = 5

(2) 1 × (-2) + 2 × 1 = -2 + 2 = 0

(3) 1 × (-2) + (-1) × 3 = -2 - 3 = -5

3問の答えは、正・0・負になりました。この違いが何を意味するかを、次の章で説明します。研修では、答え合わせの後に「3つの答えの違いは何を表していると思いますか」と問いかけてから次に進むと、受講者の関心を引き出せます。

内積の図形的な意味

図形の式

内積には、成分を使う式のほかに、ベクトルの長さと角度を使う式があります。

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta

各記号の意味は次のとおりです。

  • |a|, |b|：それぞれのベクトルの長さ（大きさ）
  • θ（シータ）：2本のベクトルがなす角（0° から 180° まで）
  • cos θ：θ が 0° のとき 1、90° のとき 0、180° のとき -1 になる値

ベクトルの長さは、成分の2乗の和の平方根で求めます。例えば a = (1, 2) の長さは次のとおりです。

|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}

符号で向きの関係が分かる

ベクトルの長さは必ず正の値なので、内積の符号は cos θ の符号で決まります。そのため、内積を計算するだけで、2本のベクトルの向きの関係が分かります。

  • 内積が正：なす角が 90° より小さい（同じ向き寄り）
  • 内積が 0：なす角がちょうど 90°（直角に交わる。直交と呼びます）
  • 内積が負：なす角が 90° より大きい（逆向き寄り）

練習問題1の(2)で内積が 0 になった (1, 2) と (-2, 1) は、互いに直交するベクトルです。方眼紙に2本の矢印を描くと、直角に交わっていることを確認できます。

受講者には、「内積は、2本のベクトルがどれだけ同じ方向を向いているかを表す数」と伝えると、イメージがつかみやすくなります。長さが同じなら、向きがそろうほど内積は大きくなり、反対を向くほどマイナスに大きくなります。

2つの式を組み合わせて角度を求める

成分の式と図形の式を組み合わせると、2本のベクトルがなす角を計算できます。図形の式を cos θ について解くと、次のようになります。

\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}

a = (1, 2), b = (3, 1) で計算します。内積は 5、|a| = √5、|b| = √10 です。

\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

cos θ = 1/√2 となる角は 45° なので、2本のベクトルは 45° の角をなしています。

練習問題2

a = (2, 0), b = (1, √3) について、内積と、2本のベクトルがなす角 θ を求めてください。

解答と解説

内積は 2 × 1 + 0 × √3 = 2 です。

ベクトルの長さは、|a| = √(4 + 0) = 2、|b| = √(1 + 3) = 2 です。

\cos\theta = \frac{2}{2 \times 2} = \frac{1}{2}

cos θ = 1/2 となる角は 60° なので、θ = 60° です。

内積が正の値なので、90° より小さい角になることは、計算の前から予想できます。研修では、角度を求める前に「内積の符号から、鋭角・直角・鈍角のどれになるか」を予想させると、符号と向きの関係が定着します。

行列の積やAIとのつながり

行列の積は内積の集まり

行列の積の記事で紹介した「左の行と右の列を、順番に掛けて足す」計算は、内積そのものです。行列の積の各成分は、左の行列の行ベクトルと、右の行列の列ベクトルの内積になっています。

内積を先に教えておくと、行列の積は「内積をまとめて計算する方法」として説明できます。研修の順番としては、内積から行列の積へ進む流れがスムーズです。

AIでの使われ方

内積は、AIや機械学習で頻繁に使われています。代表的な例は次のとおりです。

  • ニューラルネットワーク：ニューロンへの入力は、入力ベクトルと重みベクトルの内積にバイアスを足した値で計算する
  • コサイン類似度：2つの文章や商品をベクトルで表し、cos θ の値で似ている度合いを測る。検索や推薦の仕組みで使われる
  • Transformer の Attention：単語どうしの関連の強さを、クエリとキーのベクトルの内積で計算する

G検定やE資格の研修では、「内積が大きいほど向きがそろっている、つまり似ている」という図形的な意味を押さえておくと、コサイン類似度や Attention の説明がスムーズになります。

確認問題

内積について、正しい説明を1つ選んでください。

  1. 2本のベクトルの内積の答えは、ベクトルになる
  2. 内積は、成分を斜めに組み合わせて掛けて足す
  3. 内積が 0 のとき、2本のベクトルは直角に交わる
  4. 内積が負のとき、2本のベクトルは同じ向き寄りになる

解答と解説

正解は 3 です。

  • 1 は誤りです。内積の答えは、1つの数になります
  • 2 は誤りです。同じ番号の成分どうしを掛けて足します
  • 3 は正しい説明です。内積が 0 なら cos θ = 0 で、θ = 90° になります。この関係を直交と呼びます
  • 4 は誤りです。内積が負のとき、なす角は 90° より大きく、逆向き寄りになります

研修で教えるときの進め方

講師向けに、内積を扱うときの進め方の一例を示します。

  1. 「同じ番号どうし掛けて足す」という覚え方を、成分を縦にそろえた図で示す
  2. 2次元と3次元の数値例で、答えが1つの数になることを確認する
  3. 練習問題1を解いてもらい、答えが正・0・負になったことに注目させる
  4. 図形の式を示し、内積の符号と向きの関係を説明する
  5. 練習問題2で、内積から角度を求める
  6. 行列の積やAIとのつながりを紹介し、学ぶ目的を示す

ペアワークとして、1人がベクトルを2本描き、もう1人が内積の符号を予想してから計算する活動を取り入れると、計算と図形の意味を結び付けて理解できます。

まとめ

  • 内積は、同じ番号の成分どうしを掛けて、すべて足す計算で、答えは1つの数になる
  • 図形の式は a・b = |a||b|cos θ で、内積の符号から向きの関係が分かる
  • 内積が正なら同じ向き寄り、0 なら直交、負なら逆向き寄り
  • 2つの式を組み合わせると、2本のベクトルがなす角を求められる
  • 行列の積の各成分は内積であり、ニューラルネットワークやコサイン類似度でも使われている

次の学習ステップとしては、内積を使ってベクトルの射影（あるベクトルを別のベクトルの方向に投影した長さ）を求める方法をおすすめします。射影を理解すると、最小二乗法や主成分分析の仕組みを図形的に説明できるようになります。

投稿者プロフィール

山崎講師
山崎講師代表取締役
セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
海外放浪の末、2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
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この記事に間違い等ありましたらぜひお知らせください。

学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。
対象読者
山崎講師、新人エンジニア研修講師
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