固有ベクトルの覚え方｜「λ を代入して、1行目を 0 にする組を探す」と2×2の近道で教える方法

2026年11月14日 最終更新日時 : 2026年11月14日 山崎講師山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

固有値の計算ができるようになった受講者が、次につまずくのが固有ベクトルです。「連立方程式を解こうとしても答えが1つに決まらない」「解答と自分の答えが違うが、どちらが正しいのか分からない」という質問がよく出ます。

今回は、固有ベクトルを「λ を代入して、1行目を 0 にする組を探す」という覚え方で教える方法を紹介します。あわせて、2×2の行列で使える近道 v = (b, λ - a) と、答えが1つに決まらない理由の説明方法も取り上げます。手順と近道を1枚にまとめた図と、受講者に解いてもらう練習問題も用意しました。

固有ベクトルの覚え方：λを代入して、1行目を0にする組を探す。2×2なら近道 v=(b, λ−a)

固有ベクトルとは何か

固有ベクトルは、行列を掛けても向きが変わらず、長さだけが伸び縮みするベクトルです。伸び縮みの倍率が固有値です。

A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

各記号の意味は次のとおりです。

  • A：正方行列
  • v：固有ベクトル（ゼロベクトル以外）
  • λ（ラムダ）：固有値

固有値の求め方は、前回の固有値の記事で紹介した「対角から λ を引いて、行列式を 0 にする」です。今回は、固有値が求まった後に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求める手順を扱います。

固有ベクトルの求め方

覚え方は1文

固有ベクトルは、次の1文で求められます。

  • 固有値 λ を代入して、1行目の式を 0 にする組 (x, y) を探す

具体的には、次の3ステップです。

  1. 対角線上の成分から、求めた固有値 λ を引く
  2. その行列の1行目を式にして、0 とおく
  3. 式を満たす (x, y) の組を1つ選ぶ

固有値を求めるときと同じく「対角から λ を引く」ところから始まるので、固有値と固有ベクトルを一続きの手順として覚えられます。

式で書くと

Av = λv を移項すると、次の式になります。

(A - \lambda E) \mathbf{v} = \mathbf{0}

2×2の行列で v = (x, y) とすると、次のように書けます。

\begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

1行目を式にすると、(a - λ)x + by = 0 です。この式を満たす (x, y) が固有ベクトルになります。

数値で確認する

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

まず固有値を求めます。対角から λ を引いて行列式を 0 とおくと、(1 - λ)(1 - λ) - 2 × 2 = 0 です。展開すると λ² - 2λ - 3 = 0、因数分解すると (λ - 3)(λ + 1) = 0 なので、固有値は λ = 3 と λ = -1 です。

λ = 3 の固有ベクトルを、3ステップで求めます。

ステップ1：対角から 3 を引きます。

\begin{pmatrix} 1 - 3 & 2 \\ 2 & 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}

ステップ2：1行目を式にして 0 とおきます。-2x + 2y = 0 なので、y = x です。

ステップ3：x = 1 とおくと y = 1 なので、固有ベクトルは (1, 1) です。

実際に A を掛けて確認します。

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

向きはそのままで、長さが3倍になりました。λ = 3 の固有ベクトルであることを確認できます。

同じように λ = -1 のときは、1行目が (1 - (-1))x + 2y = 0、つまり 2x + 2y = 0 なので、y = -x です。x = 1 とおくと、固有ベクトルは (1, -1) です。A を掛けると (1 - 2, 2 - 1) = (-1, 1) となり、(1, -1) の -1 倍、つまり向きが反転して長さは同じになります。

なぜ1行目だけでよいのか

受講者から「2行目の式は使わなくてよいのか」と質問されることがあります。

λ が固有値のとき、A - λE の行列式は 0 です。行列式が 0 の2×2の行列では、2行目は1行目の定数倍になっています。上の例でも、1行目 (-2, 2) に -1 を掛けると2行目 (2, -2) になります。そのため、2行目の式は1行目の式と同じ内容になり、1行目だけで十分です。

逆に、2つの式が別々の内容になって x = 0, y = 0 しか答えがない場合は、λ の値が固有値になっていない、つまり固有値の計算を間違えている可能性があります。研修では、この点を検算の手がかりとして伝えてください。

2×2の近道：v = (b, λ - a)

近道の公式

2×2の行列では、1行目の式 (a - λ)x + by = 0 を必ず満たす組を、すぐに書けます。

\mathbf{v} = (b, \lambda - a)

代入して確かめると、(a - λ) × b + b × (λ - a) = 0 となり、どんな値でも式が成り立ちます。受講者には「1行目の右上の b を前に、λ から左上の a を引いた値を後ろに並べる」と伝えると覚えやすくなります。

先ほどの A = (1 2 ／ 2 1) で使ってみます。a = 1, b = 2 です。

  • λ = 3 のとき：(2, 3 - 1) = (2, 2)
  • λ = -1 のとき：(2, -1 - 1) = (2, -2)

近道で求めた (2, 2) は、3ステップで求めた (1, 1) の2倍です。(2, -2) も (1, -1) の2倍です。次の章で説明するとおり、どちらも正しい固有ベクトルです。

近道が使えない場合

b = 0 のときは、近道で求めた組が (0, λ - a) になります。λ = a のときは (0, 0) となり、ゼロベクトルなので固有ベクトルになりません。この場合は、2行目の式 cx + (d - λ)y = 0 を使います。2行目から作る近道は (λ - d, c) です。

近道はあくまで1行目の式から作った便利な形です。研修では、まず3ステップの手順を理解させてから近道を紹介し、「困ったら1行目（または2行目）の式に戻る」と伝えておくと、例外にも対応できます。

答えが1つに決まらない理由

定数倍はすべて同じ固有ベクトル

固有ベクトルは、向きを表すものです。v が固有ベクトルなら、2v や -v、0.5v も、同じ向き（または真逆の向き）を持つベクトルなので、すべて Av = λv を満たします。

A(k\mathbf{v}) = kA\mathbf{v} = k\lambda\mathbf{v} = \lambda(k\mathbf{v})

ここで k は 0 以外の任意の数です。そのため、(1, 1)、(2, 2)、(-3, -3) は、どれも λ = 3 の固有ベクトルとして正解です。

解答には、x = 1 とおいた形や、成分が小さな整数になる形を書くことが多いです。また、長さを 1 にそろえた形（正規化した形）で書く場合もあります。(1, 1) を長さ 1 にすると、(1/√2, 1/√2) になります。

受講者が解答と異なる答えを出したときは、「定数倍の関係になっていれば正解」と伝え、自分で A を掛けて確認する習慣を付けさせてください。

受講者がつまずきやすい点

  • 連立方程式として x と y を1つに決めようとする：式が実質1本しかないため、1つには決まりません。「1つ選べばよい」と伝えます
  • ゼロベクトル (0, 0) を答えてしまう：(0, 0) はどんな λ でも Av = λv を満たしますが、固有ベクトルには含めません
  • 固有値と固有ベクトルの組み合わせを取り違える：λ = 3 に (1, -1) を対応させるような誤りです。求めた固有ベクトルに A を掛けて、何倍になるかで確認させます

練習問題1

次の行列の固有値は λ = 6 と λ = 1 です。それぞれの固有ベクトルを1つずつ求め、A を掛けて確認してください。

A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

解答と解説

λ = 6 のとき、1行目は (5 - 6)x + 2y = 0、つまり -x + 2y = 0 なので、x = 2y です。y = 1 とおくと、固有ベクトルは (2, 1) です。近道 (b, λ - a) = (2, 6 - 5) = (2, 1) でも同じ結果になります。確認すると、A × (2, 1) = (10 + 2, 4 + 2) = (12, 6) = 6 × (2, 1) です。

λ = 1 のとき、1行目は (5 - 1)x + 2y = 0、つまり 4x + 2y = 0 なので、y = -2x です。x = 1 とおくと、固有ベクトルは (1, -2) です。近道では (2, 1 - 5) = (2, -4) となり、(1, -2) の2倍です。確認すると、A × (1, -2) = (5 - 4, 2 - 4) = (1, -2) = 1 × (1, -2) です。

2つの固有ベクトル (2, 1) と (1, -2) の内積を計算すると、2 × 1 + 1 × (-2) = 0 です。内積の記事で扱ったとおり、内積が 0 なので、この2本は直交しています。A のように左右対称に成分が並ぶ行列（対称行列）では、異なる固有値の固有ベクトルどうしが必ず直交します。最初の例の (1, 1) と (1, -1) も直交しています。

練習問題2

次の行列の固有値は λ = 2 と λ = 3 です。それぞれの固有ベクトルを1つずつ求めてください。

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

解答と解説

この行列は b = 0 なので、近道が使えない場合があることに注意します。

λ = 3 のとき、近道 (b, λ - a) = (0, 3 - 2) = (0, 1) です。確認すると、A × (0, 1) = (0, 3) = 3 × (0, 1) なので正解です。

λ = 2 のとき、近道は (0, 2 - 2) = (0, 0) となり、ゼロベクトルなので使えません。そこで2行目の式を使います。2行目は x + (3 - 2)y = 0、つまり x + y = 0 なので、y = -x です。x = 1 とおくと、固有ベクトルは (1, -1) です。2行目から作る近道 (λ - d, c) = (2 - 3, 1) = (-1, 1) でも、(1, -1) の -1 倍になります。確認すると、A × (1, -1) = (2, 1 - 3) = (2, -2) = 2 × (1, -1) です。

この問題では、λ = 2 のとき1行目が (2 - 2)x + 0 × y = 0 となり、0 = 0 という何も決まらない式になります。1行目から情報が得られないときは2行目を使う、という対応を練習するための問題です。

AI・データ分析での使われ方

固有ベクトルは、データ分析や機械学習で次のように使われています。

  • 主成分分析（PCA）：データの分散を表す行列（分散共分散行列）の固有ベクトルが、データが最も広がっている方向（主成分の方向）を表す。分散共分散行列は対称行列なので、主成分の方向どうしは互いに直交する
  • 次元削減：固有値の大きい順に固有ベクトルを選び、その方向にデータを射影すると、情報をなるべく失わずに次元を減らせる

G検定やE資格の研修では、練習問題1で確認した「対称行列の固有ベクトルは直交する」という性質を、主成分分析で主成分どうしが直交する理由として紹介すると、数学とAIの知識がつながります。

確認問題

固有ベクトルについて、正しい説明を1つ選んでください。

  1. 固有ベクトルは、1つの固有値に対して1つだけに決まる
  2. v が固有ベクトルなら、2v も同じ固有値の固有ベクトルになる
  3. ゼロベクトルは、どの固有値に対しても固有ベクトルになる
  4. 近道 v = (b, λ - a) は、どの2×2の行列でも必ず使える

解答と解説

正解は 2 です。

  • 1 は誤りです。定数倍したものもすべて固有ベクトルなので、1つには決まりません
  • 2 は正しい説明です。A(2v) = 2Av = 2λv = λ(2v) となり、同じ固有値 λ の固有ベクトルになります
  • 3 は誤りです。ゼロベクトルは Av = λv を満たしますが、固有ベクトルには含めません
  • 4 は誤りです。b = 0 で λ = a のときはゼロベクトルになるため、2行目の式を使う必要があります

研修で教えるときの進め方

講師向けに、固有ベクトルを扱うときの進め方の一例を示します。

  1. 固有値の求め方を復習し、例題の固有値を全員で求める
  2. 「λ を代入して、1行目を 0 にする組を探す」の1文と3ステップを示す
  3. 求めた固有ベクトルに A を掛けて、λ 倍になることを確認する
  4. 定数倍もすべて正解になる理由を説明する
  5. 近道 v = (b, λ - a) を紹介し、練習問題1を解いてもらう
  6. 練習問題2で、近道が使えない場合の対応を練習する

ペアワークとして、2人がそれぞれ別の方法（3ステップと近道）で固有ベクトルを求め、答えが定数倍の関係になっているかを確認し合う活動を取り入れると、「答えが1つに決まらない」ことを体験的に理解できます。

まとめ

  • 固有ベクトルは、固有値 λ を代入して、1行目の式を 0 にする組 (x, y) を探して求める
  • 2×2の行列では、近道 v = (b, λ - a) で固有ベクトルをすぐに書ける。b = 0 のときは2行目の式を使う
  • 固有ベクトルは向きを表すので、0 以外の定数倍はすべて同じ固有ベクトルとして扱う
  • 求めた固有ベクトルは、A を掛けて λ 倍になるかで確認できる
  • 対称行列の固有ベクトルどうしは直交し、主成分分析の主成分の方向として使われている

次の学習ステップとしては、固有値と固有ベクトルを使った行列の対角化をおすすめします。固有ベクトルを並べた行列を使うと、元の行列を対角行列に変換でき、行列の累乗や主成分分析の計算を簡単に扱えるようになります。

投稿者プロフィール

山崎講師
山崎講師代表取締役
セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
海外放浪の末、2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
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この記事に間違い等ありましたらぜひお知らせください。

学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。
対象読者
山崎講師、新人エンジニア研修講師
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