行列式の公式の覚え方｜2×2と3×3を「斜めの向き」1つで教える方法

2026年11月14日 2026年11月14日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

線形代数の研修で行列式を扱うと、受講者から「公式が覚えられない」「プラスとマイナスがどれだったか分からなくなる」という声がよく上がります。2×2の公式と3×3の公式を別々に暗記させようとすると、項の数が多いぶん混乱しやすくなります。

今回は、2×2と3×3の行列式を「右下がりはプラス、左下がりはマイナス」という1つのルールでまとめて教える方法を紹介します。講師が板書やスライドでそのまま使える図と、受講者に解いてもらう練習問題も用意しました。

行列式とは何か

行列式は、正方行列（行の数と列の数が同じ行列）から1つの数を計算する仕組みです。行列 A の行列式は det(A) または |A| と書きます。

受講者には、次の2点を先に伝えておくと、計算する意味がつかみやすくなります。

例えば、行列式が 2 なら面積が2倍になります。行列式が 0 なら、平面が線や点につぶれてしまうため、元に戻す変換（逆行列）を作れません。

公式に入る前に、ルールを1つだけ示します。

2×2でも3×3でも、このルールは変わりません。違いは、3×3では斜めの線を3本ずつ引くために、列を書き足すという1手間が加わる点だけです。

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

各記号の意味は次のとおりです。

右下がりの斜め（a と d）を掛けた ad がプラス、左下がりの斜め（b と c）を掛けた bc がマイナスです。2本の線が交差して「×」の形になるので、受講者には「たすき掛け」と伝えると定着しやすくなります。

$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 1 \times 4 = 6 - 4 = 2$

右下がりの 3 と 2 を掛けて 6、左下がりの 1 と 4 を掛けて 4 です。6 から 4 を引いて、行列式は 2 になります。

ad + bc と足してしまう：左下がりはマイナス、と図の色で区別させると防げます
bc - ad と順番を逆にしてしまう：符号が反転した答えになります。「右下がりが先」と決めておきます
成分に負の数があるときの符号ミス：例えば b = -1, c = 3 なら bc = -3 で、-bc = +3 になります。かっこを付けて計算するよう指導します

次の行列式を計算してください。

(1)

$\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$

(2)

$\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}$

(3)

$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$

(1) 5 × 4 - 2 × 3 = 20 - 6 = 14

(2) 2 × 3 - 6 × 1 = 6 - 6 = 0

行列式が 0 なので、この行列には逆行列がありません。1行目 (2, 6) が2行目 (1, 3) のちょうど2倍になっている点に注目させると、「2本のベクトルが同じ向きを向いているので、面積が 0 につぶれる」という意味の説明につなげられます。

(3) 2 × 4 - (-1) × 3 = 8 - (-3) = 8 + 3 = 11

-1 × 3 = -3 を引くので、結果は足し算になります。答えを 5 とした受講者は、符号の処理を誤っています。

3×3では、そのまま斜めの線を引くと、3つの数が並ぶ斜めが1本ずつしか取れません。そこで、次の手順で計算します。この方法をサラスの方法（サラスの公式）と呼びます。