行列の積の覚え方｜「行は横、列は縦」で計算手順と掛けられる条件を教える方法

2026年11月14日 最終更新日時 : 2026年11月14日 山崎講師山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

行列の積は、線形代数の研修で受講者が最初につまずきやすい計算の1つです。足し算や引き算のように同じ位置どうしを掛ければよいと考えてしまい、まったく違う答えを出す受講者は少なくありません。また、どの行列どうしなら掛けられるのか、答えが何行何列になるのかも混乱しやすい点です。

今回は、行列の積を「行は横、列は縦」という覚え方で教える方法を紹介します。計算の手順と掛けられる条件を1枚にまとめた図と、受講者に解いてもらう練習問題も用意しました。

行列の積の覚え方：左の行（横）と右の列（縦）を順番に掛けて足す。内側がそろえば掛けられ、外側が答えのサイズ

最初に伝える覚え方

行列の積の計算は、次の1文にまとめられます。

  • 左の行列の「行（横に並んだ数）」と、右の行列の「列（縦に並んだ数）」を、先頭から順番に掛けて足す

「行」と「列」のどちらが横でどちらが縦かを迷う受講者には、漢字の形で覚えてもらう方法があります。「行」の右側のつくりには横線が2本あり、「列」の右側の「刂（りっとう）」には縦線が2本あります。横線が目立つ「行」は横、縦線が目立つ「列」は縦、と結び付けると忘れにくくなります。

2×2の行列の積

数値で手順を確認する

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}

答えの1行1列目は、左の行列の1行目 (1, 2) と、右の行列の1列目 (5, 7) から計算します。

  • 1 と 5 を掛けて 5
  • 2 と 7 を掛けて 14
  • 足して 5 + 14 = 19

同じように、4つの成分を計算します。

  • 1行目 × 1列目：1 × 5 + 2 × 7 = 19（答えの1行1列目）
  • 1行目 × 2列目：1 × 6 + 2 × 8 = 22（答えの1行2列目）
  • 2行目 × 1列目：3 × 5 + 4 × 7 = 43（答えの2行1列目）
  • 2行目 × 2列目：3 × 6 + 4 × 8 = 50（答えの2行2列目）

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}

ここでのルールは、「左の i 行目と右の j 列目から計算した値は、答えの i 行 j 列目に書く」という点です。行番号は左の行列から、列番号は右の行列から受け継ぎます。

文字で書いた公式

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}

公式をそのまま暗記させる必要はありません。「行は横、列は縦」の手順を数値で数回練習すると、文字の公式は自然に書けるようになります。

受講者がつまずきやすい点

  • 同じ位置どうしを掛けてしまう：1 × 5, 2 × 6, 3 × 7, 4 × 8 のように計算する誤りです。これは行列の積ではありません。左は横、右は縦に読むことを指でなぞって確認させます
  • 掛けた後に足し忘れる：1 × 5 と 2 × 7 を別々の成分に書いてしまう誤りです。「掛けて足して1つの数」と伝えます
  • 答えを書く位置を間違える：1行目 × 2列目の答えを2行1列目に書いてしまう誤りです。行番号と列番号をセットで声に出させると防げます

練習問題1

次の行列の積を計算してください。

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}

解答と解説

  • 1行1列目：2 × 1 + 1 × 2 = 4
  • 1行2列目：2 × 4 + 1 × 5 = 13
  • 2行1列目：0 × 1 + 3 × 2 = 6
  • 2行2列目：0 × 4 + 3 × 5 = 15

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 13 \\ 6 & 15 \end{pmatrix}

答えが (2 4 ／ 0 15) になった受講者は、同じ位置どうしを掛けています。手順をもう一度、指でなぞりながら確認させてください。

掛けられる条件と答えのサイズ

内側がそろえば掛けられる

行列の積は、どの行列どうしでも計算できるわけではありません。行列のサイズを「行数 × 列数」で並べて書くと、条件が見えやすくなります。

  • 左の行列の列数と、右の行列の行数が等しいときだけ掛けられる
  • 答えの行列のサイズは、左の行列の行数 × 右の行列の列数になる

例えば、2行3列の行列と3行2列の行列の積は、(2×3)(3×2) と並べます。内側の 3 と 3 がそろっているので掛けられます。答えのサイズは外側の数を取って2行2列です。

この条件は、計算の手順から説明できます。左の行（横）と右の列（縦）を先頭から順番に掛けていくので、左の1行に並ぶ数の個数（列数）と、右の1列に並ぶ数の個数（行数）が同じでなければ、掛ける相手が足りなくなります。

一般的な式

答えの行列を C とすると、i 行 j 列目の成分は次の式で表せます。

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

各記号の意味は次のとおりです。

  • a_ik：左の行列 A の i 行 k 列目の成分
  • b_kj：右の行列 B の k 行 j 列目の成分
  • n：A の列数（＝ B の行数）
  • Σ（シグマ）：k を 1 から n まで変えながら足し合わせる記号

先ほどの例で 1行1列目を計算すると、i = 1, j = 1, n = 2 なので、a_11 × b_11 + a_12 × b_21 = 1 × 5 + 2 × 7 = 19 になります。式の中で k が「左では列番号、右では行番号」として共通に使われている点が、内側がそろう条件そのものです。

練習問題2

次の行列の積を計算してください。

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}

解答と解説

サイズは (2×3)(3×1) です。内側の 3 がそろっているので掛けられ、答えは2行1列になります。

  • 1行目 × 1列目：1 × 1 + 2 × 0 + 3 × 2 = 7
  • 2行目 × 1列目：4 × 1 + 5 × 0 + 6 × 2 = 16

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 16 \end{pmatrix}

行列とベクトルの積は、ニューラルネットワークの計算でもそのまま使われる形です。入力ベクトルに重み行列を掛けて次の層の値を求める計算と同じ構造だと伝えると、AI系の研修では学ぶ目的がはっきりします。

掛ける順番を入れ替えると答えが変わる

数の掛け算では 2 × 3 と 3 × 2 は同じ答えになりますが、行列の積では順番を入れ替えると、一般に答えが変わります。最初の例で順番を入れ替えて確認します。

\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}

  • 1行1列目：5 × 1 + 6 × 3 = 23
  • 1行2列目：5 × 2 + 6 × 4 = 34
  • 2行1列目：7 × 1 + 8 × 3 = 31
  • 2行2列目：7 × 2 + 8 × 4 = 46

AB は (19 22 ／ 43 50)、BA は (23 34 ／ 31 46) で、異なる結果になりました。さらに、(2×3) と (3×1) のようにサイズが違う場合は、順番を入れ替えると (3×1)(2×3) となり、内側がそろわないため計算そのものができません。

受講者には「行列の掛け算では、順番は勝手に入れ替えない」と明確に伝えてください。

確認問題

次の説明のうち、正しいものを1つ選んでください。

  1. 行列の積は、同じ位置にある成分どうしを掛けて求める
  2. 3行2列の行列と2行4列の行列の積は、3行4列になる
  3. 行列 A と B の積では、常に AB と BA が等しくなる
  4. 2行3列の行列と2行3列の行列は、そのまま掛けられる

解答と解説

正解は 2 です。

  • 1 は誤りです。左の行と右の列を順番に掛けて足すのが行列の積です
  • 2 は正しい説明です。(3×2)(2×4) は内側の 2 がそろっているので掛けられ、答えは外側を取って3行4列になります
  • 3 は誤りです。AB と BA は一般に異なり、サイズによっては片方しか計算できない場合もあります
  • 4 は誤りです。(2×3)(2×3) は内側が 3 と 2 でそろわないため、計算できません

研修で教えるときの進め方

講師向けに、行列の積を扱うときの進め方の一例を示します。

  1. 「行は横、列は縦」という覚え方を、漢字の形と一緒に示す
  2. 2×2の数値例で、1行1列目だけを全員で一緒に計算する
  3. 残りの3つの成分を個人で計算してもらい、答え合わせをする
  4. 練習問題1で、同じ位置どうしを掛ける誤りが出ていないか確認する
  5. サイズの条件「内側がそろえば掛けられ、外側が答えのサイズ」を説明し、練習問題2を解いてもらう
  6. AB と BA を両方計算させ、順番を入れ替えられないことを実感してもらう

2人1組で、1人が計算し、もう1人が「今どの行とどの列を掛けているか」を声に出して確認するペアワークにすると、手順の誤りに気付きやすくなります。

まとめ

  • 行列の積は、左の行（横）と右の列（縦）を順番に掛けて足す
  • i 行目 × j 列目の値は、答えの i 行 j 列目に書く
  • 掛けられるのは、左の列数と右の行数がそろうときだけ。答えのサイズは外側の数で決まる
  • 掛ける順番を入れ替えると、一般に答えが変わる

次の学習ステップとしては、行列とベクトルの積が図形の回転や拡大にどう対応するかを確認する流れをおすすめします。計算の手順に「変換」という意味が加わると、行列式や逆行列の学習にも自然につながります。

投稿者プロフィール

山崎講師
山崎講師代表取締役
セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
海外放浪の末、2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
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この記事に間違い等ありましたらぜひお知らせください。

学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。
対象読者
山崎講師、新人エンジニア研修講師
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