固有値の覚え方｜「対角から λ を引いて、行列式を 0 にする」で意味と求め方を教える方法

2026年11月14日 2026年11月14日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

固有値は、線形代数の研修で「計算はできても意味が分からない」という声が特に多い単元です。公式の det(A - λE) = 0 だけを覚えさせると、なぜその式を解くのか、出てきた値が何を表すのかが分からないまま進んでしまいます。

今回は、固有値を「意味」と「求め方」の2つに分けて教える方法を紹介します。求め方は「対角から λ を引いて、行列式を 0 にする」の1文にまとめられます。意味と求め方を1枚にまとめた図と、受講者に解いてもらう練習問題も用意しました。

固有値とは何か

向きが変わらないベクトル

行列をベクトルに掛けると、ふつうはベクトルの向きも長さも変わります。ところが、行列によっては、掛けても向きが変わらず、長さだけが伸び縮みする特別なベクトルがあります。

この特別なベクトルを固有ベクトル、伸び縮みの倍率を固有値と呼びます。式で書くと次のとおりです。

$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

各記号の意味は次のとおりです。

A：正方行列
v：固有ベクトル（ゼロベクトル以外）
λ（ラムダ）：固有値。v が何倍に伸びるかを表す数

左辺は「行列 A を掛けたベクトル」、右辺は「元のベクトルを λ 倍しただけのベクトル」です。この2つが等しいということは、A を掛けても向きが変わらず、長さだけが λ 倍になるという意味です。

数値で確認する

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

この行列 A に、ベクトル (1, 1) を掛けてみます。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(1, 1) は、A を掛けると (3, 3) になりました。向きは同じで、長さだけが3倍です。したがって、(1, 1) は A の固有ベクトルで、固有値は 3 です。

比較のために、(1, 0) に A を掛けると (2, 1) になります。(1, 0) は横向きでしたが、(2, 1) は斜め上を向いており、向きが変わっています。(1, 0) は固有ベクトルではありません。

研修では、方眼紙やホワイトボードに2本の矢印を描いて「向きが変わるベクトル」と「向きが変わらないベクトル」を並べて見せると、固有ベクトルのイメージがつかみやすくなります。

固有値の求め方

覚え方は1文

固有値は、次の1文で求められます。

対角から λ を引いて、行列式を 0 にする

具体的には、次の3ステップです。

対角線上の成分から、それぞれ λ を引く
その行列の行列式を計算し、0 とおく
できた方程式を λ について解く

公式

$\det(A - \lambda E) = 0$

各記号の意味は次のとおりです。

E：単位行列（対角線上が 1、それ以外が 0 の行列）
λE：対角線上が λ、それ以外が 0 の行列
A - λE：A の対角成分から、それぞれ λ を引いた行列
det：行列式

2×2の行列では、次のようになります。

$\begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix} = 0$

行列式をたすき掛けで展開すると、λ の2次方程式になります。

$\lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0$

なぜ行列式を 0 にするのか

受講者から「なぜ行列式が 0 なのか」と質問されたときは、次の流れで説明できます。

Av = λv を移項すると、(A - λE)v = 0 になる
もし A - λE に逆行列があれば、両辺に逆行列を掛けて v = 0 になってしまう
固有ベクトルは 0 以外のベクトルなので、A - λE には逆行列があってはいけない
逆行列がない条件は、行列式が 0 であること

逆行列の単元で学んだ「行列式が 0 なら逆行列がない」という性質が、ここでつながります。行列式・逆行列・固有値を一続きの流れとして教えると、受講者は公式の理由まで理解できます。

数値で計算する

先ほどの A = (2 1 ／ 1 2) の固有値を、3ステップで求めます。

ステップ1：対角から λ を引きます。

$\begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix}$

ステップ2：行列式を 0 とおきます。

$(2 - \lambda)(2 - \lambda) - 1 \times 1 = 0$

ステップ3：展開して解きます。

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$

$(\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0$

固有値は λ = 3 と λ = 1 です。

検算の方法

2×2の固有値には、次の関係があります。

固有値の和＝対角成分の和（a + d）
固有値の積＝行列式（ad - bc）

この例では、和は 3 + 1 = 4 で、対角成分の和 2 + 2 = 4 と一致します。積は 3 × 1 = 3 で、行列式 2 × 2 - 1 × 1 = 3 と一致します。

対角成分の和はトレース（tr A）と呼ばれます。2次方程式の解と係数の関係から導かれる性質で、計算ミスの発見に役立ちます。研修では、固有値を求めたら必ずこの2つで検算する習慣を付けさせてください。

受講者がつまずきやすい点

対角以外からも λ を引いてしまう：λ を引くのは対角線上の成分だけです。λE が対角行列であることを確認させます
行列式の符号ミス：(2 - λ)(2 - λ) - 1 × 1 の「- 1 × 1」を足してしまう誤りです。行列式は ad - bc であることを思い出させます
2次方程式の展開ミス：(2 - λ)² を 4 - λ² としてしまう誤りです。4 - 4λ + λ² になることを確認させます

練習問題1

次の行列の固有値を求め、和と積で検算してください。

$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

解答と解説

対角から λ を引いて、行列式を 0 とおきます。

$(4 - \lambda)(3 - \lambda) - 1 \times 2 = 0$

展開すると、12 - 7λ + λ² - 2 = 0 です。

$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$

$(\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0$

固有値は λ = 5 と λ = 2 です。

検算すると、和は 5 + 2 = 7 で、対角成分の和 4 + 3 = 7 と一致します。積は 5 × 2 = 10 で、行列式 4 × 3 - 1 × 2 = 10 と一致します。

固有ベクトルの求め方

固有値が分かったら、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます。手順は、固有値を (A - λE)v = 0 に代入して、v = (x, y) を求めるだけです。

A = (2 1 ／ 1 2) で、λ = 3 のときを考えます。

$\begin{pmatrix} 2 - 3 & 1 \\ 1 & 2 - 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

1行目から -x + y = 0、つまり y = x です。x = 1 とすると、固有ベクトルは (1, 1) になります。図で確認したベクトルと一致します。

λ = 1 のときは、1行目が (2 - 1)x + y = 0 なので、y = -x です。x = 1 とすると、固有ベクトルは (1, -1) になります。実際に A を掛けると (2 - 1, 1 - 2) = (1, -1) となり、長さも向きも変わらない（1倍）ことを確認できます。

固有ベクトルは1つに決まらず、(2, 2) や (-1, -1) のように、定数倍したものもすべて固有ベクトルです。受講者には「向きを表すものなので、何倍しても同じ固有ベクトルとして扱う」と伝えてください。

練習問題2

練習問題1の行列 (4 1 ／ 2 3) について、固有値 λ = 5 と λ = 2 に対応する固有ベクトルをそれぞれ1つ求めてください。

解答と解説

λ = 5 のとき、1行目は (4 - 5)x + y = 0 なので、y = x です。固有ベクトルは (1, 1) です。確認すると、(4 + 1, 2 + 3) = (5, 5) = 5 × (1, 1) となります。

λ = 2 のとき、1行目は (4 - 2)x + y = 0 なので、y = -2x です。固有ベクトルは (1, -2) です。確認すると、(4 - 2, 2 - 6) = (2, -4) = 2 × (1, -2) となります。

2行目の式を使っても同じ関係が得られます。行列式を 0 にした結果、2つの式は同じ内容になるためです。

AI・データ分析での使われ方

固有値と固有ベクトルは、データ分析や機械学習で実際に使われています。代表的な例は次のとおりです。

主成分分析（PCA）：データの分散を表す行列の固有ベクトルが、データが最も広がっている方向を表し、固有値がその方向の分散の大きさを表す
Googleのページランク：Webページのリンク関係を表す行列の固有ベクトルから、ページの重要度を計算する考え方が知られている

G検定やE資格の研修では、主成分分析の説明の前に固有値を扱うと、「なぜ固有値の大きい順に主成分を選ぶのか」を受講者が理解しやすくなります。

確認問題

固有値について、正しい説明を1つ選んでください。

2×2の固有値の積は、行列式と等しくなる
固有値を求めるときは、全成分から λ を引く
固有ベクトルは、行列を掛けると向きが変わる
固有値は、どの行列でも必ず1つだけ求まる

解答と解説

正解は 1 です。

1 は正しい説明です。2×2では、固有値の積は ad - bc、和は a + d と等しくなり、検算に使えます
2 は誤りです。λ を引くのは対角線上の成分だけです
3 は誤りです。固有ベクトルは、行列を掛けても向きが変わらないベクトルです
4 は誤りです。2×2の行列では2次方程式を解くため、固有値は通常2つ求まります（重解で1つになる場合もあります）

研修で教えるときの進め方

講師向けに、固有値を扱うときの進め方の一例を示します。

行列とベクトルの積を復習し、ふつうは向きが変わることを確認する
向きが変わらないベクトル (1, 1) の例を示し、固有値と固有ベクトルの意味を説明する
「対角から λ を引いて、行列式を 0 にする」の1文と3ステップを示す
行列式・逆行列とのつながりで、行列式を 0 にする理由を説明する
練習問題1で固有値を求め、和と積で検算させる
練習問題2で固有ベクトルを求め、行列を掛けて確認させる

ペアワークとして、1人が固有値を計算し、もう1人が和と積の検算を担当すると、計算ミスにその場で気付けます。

まとめ

固有値は、行列を掛けても向きが変わらないベクトル（固有ベクトル）が、何倍に伸び縮みするかを表す数
求め方は「対角から λ を引いて、行列式を 0 にする」の1文で覚えられる
2×2では、固有値の和は対角成分の和、積は行列式と等しく、検算に使える
固有ベクトルは、固有値を (A - λE)v = 0 に代入して求める
主成分分析など、データ分析や機械学習で実際に使われている

次の学習ステップとしては、固有値と固有ベクトルを使って行列を対角化する方法をおすすめします。対角化を学ぶと、行列の累乗の計算や主成分分析の仕組みを、さらに具体的に理解できるようになります。

投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
海外放浪の末、2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
この記事に間違い等ありましたらぜひお知らせください。

学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。

固有値の覚え方｜「対角から λ を引いて、行列式を 0 にする」で意味と求め方を教える方法

固有値とは何か

向きが変わらないベクトル

数値で確認する

固有値の求め方

覚え方は1文

公式

なぜ行列式を 0 にするのか

数値で計算する

検算の方法

受講者がつまずきやすい点

練習問題1

解答と解説

固有ベクトルの求め方

練習問題2

解答と解説

AI・データ分析での使われ方

確認問題

解答と解説

研修で教えるときの進め方

まとめ

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