【数学コラム】線形代数ってなに？「まっすぐ」な世界を「記号」で解く物語

2026年1月7日 2026年1月7日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

エンジニアとして機械学習やデータ分析の勉強を始めると、必ず立ちはだかる大きな壁があります。

そう、線形代数です。

名前からして、なんだか堅苦しくて難しそうですよね。「線」はわかるけど、「形」って何？「代数」って何？と、漢字を見るだけで頭が痛くなってしまう人もいるかもしれません。

でも、この名前の由来をバラバラにして意味を紐解いていくと、実はこの学問が「どんな世界を扱っているのか」が驚くほどクリアに見えてくるのです。

今回は、数式をほとんど使わずに、この不思議な名前の正体に迫っていきましょう。

「代数」は、数の代わりを使うこと

まずは、後半の代数（Algebra）から片付けてしまいましょう。

これは漢字の通り、数の代わりに文字を使うことです。

小学校の算数では、「 $1 + 2 = 3$ 」のように、具体的な数字を使って計算していましたよね。

でも、中学校に入ると「 $x + y = z$ 」のように、アルファベット（変数）が登場しました。これが代数です。

具体的な数字（1や100など）にとらわれず、
$x$ や $y$ といった「仮の姿（代役）」を使って、
一般的な法則や関係性を解き明かす。

つまり、いつでもどんな数字が入ってもいいように、「箱」を用意して計算するテクニックのことです。ここはまだイメージしやすいですよね。

「線形」は、まっすぐで素直な世界

問題は前半の線形（Linear）です。ここが多くの人を悩ませるポイントです。

一言で言うと、線形とは「まっすぐな線」のことです。

英語の Line（線）から来ています。グラフに描いたときに、曲がったり折れ曲がったりせず、定規で引いたようなピーンと伸びた直線のことを指します。

でも、ただまっすぐなだけではありません。線形であるためには、「素直で裏切らない」という2つの重要な性質が必要です。

1. 倍にしたら、結果も倍になる（比例）

たとえば、1個100円のリンゴを売っているお店を想像してください。

1個買うと、100円。
2個買うと、200円。
10個買うと、1000円。

買う個数を2倍、10倍にすれば、金額も素直に2倍、10倍になりますよね。グラフにすると、原点を通る綺麗な直線になります。これが線形です。

逆に、「3個買うと割引で250円！」というお店はどうでしょう。これはグラフにするとガクッと曲がってしまいますよね。これは非線形（ひせんけい）と言い、線形代数の世界では扱いません。

2. 足し合わせても結果は同じ（加法性）

Aくんがリンゴを1個、Bくんがリンゴを2個カゴに入れました。

別々に会計しても：100円 $+$ 200円 $=$ 300円
合わせて会計しても：3個で300円

別々に計算して足しても、最初から足して計算しても、結果が変わらない。これも素直な性質ですよね。

つまり、「線形」とは、予期せぬ変化や依怙贔屓（えこひいき）がない、単純で扱いやすい世界のことを指しているのです。

なぜ、わざわざ「線形」を学ぶのか？

「代数」と「線形」の意味はわかりました。

線形：まっすぐで素直な関係。
代数：文字を使って計算すること。

合わせると、 「まっすぐで素直な世界を、文字を使って計算する学問」 ということになります。

ここで、こう思いませんか。

「世の中、そんなに単純なことばかりじゃないでしょ？割引もあるし、空気抵抗もあるし、複雑なことばかりじゃないか！」

その通りです。現実世界はグニャグニャと曲がりくねった非線形なことばかりです。

それなのに、なぜエンジニアは必死になって線形代数を学ぶのでしょうか。

それは、 「複雑な曲線も、超拡大すれば直線に見えるから」 です。

地球は丸いですが、私たちが立っている地面は平ら（直線）に見えますよね。それと同じです。

どんなに難しいAIの計算も、複雑な物理現象も、ものすごく細かく切り刻んで拡大していけば、そこには「線形」の世界が広がっています。

難しい曲線のまま扱うのは大変すぎるので、「とりあえず直線（線形）の集まりだと考えよう！」と単純化して、一気に計算してしまう。そのための最強の道具が、行列やベクトルなのです。

まとめ

いかがでしたか。

線形代数という名前は、決して難しい呪文ではありませんでした。

線形：グラフにすると直線になる、素直で予測しやすい関係（比例など）。
代数：具体的な数ではなく、 $x$ や $y$ などの記号で一般化すること。

つまり、「複雑な現実世界を、扱いやすい『直線』の集まりとみなして、記号を使って一気に解き明かすための道具」だったのです。

こう考えると、無機質な行列の計算も、少しだけ親しみが湧いてきませんか。

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投稿者プロフィール

山崎講師代表取締役

セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
すべての無駄を省いた費用対効果の高い「筋肉質」な研修を提供します！
この記事に間違い等ありましたらぜひお知らせください。

学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。