【機械学習の正体】「固有ベクトル」がわかればデータの本質が見えてくる！初心者向け解説
山崎講師こんにちは。ゆうせいです。
線形代数、微分、偏微分、合成関数と続いてきたこの数学シリーズも、いよいよ「ラスボス」の登場です。
その名は「固有（こゆう）ベクトル」。
この言葉を聞いた瞬間、大学時代の講義で眠くなった記憶が蘇る方もいるかもしれません。「固有値」とか「対角化」とか、漢字ばかりで何のことやら……となりがちですよね。
でも、もしあなたが「機械学習でデータを分析したい」「画像認識をやってみたい」と思っているなら、この固有ベクトルこそが、最強の味方になります。
なぜなら、固有ベクトルとは、データの中に隠れている「本質的な特徴」や「一番おいしい部分」を抜き出すための道具だからです。
今回は、難解な数式計算は脇に置いて、固有ベクトルが機械学習でどう役立っているのか、その「意味」に絞って解説していきます。これを読めば、難しそうな名前が少しだけ愛おしく感じるはずですよ。
固有ベクトルとは「ブレない芯」のこと
まず、数学的な定義を少しだけ噛み砕いてみましょう。
あるデータ（ベクトル）に行列（変換）を掛け合わせると、普通、そのデータはあっちこっちに向きを変えてしまいます。回転したり、ぐにゃっと曲がったりするイメージです。
しかし、不思議なことに、変換を加えても「向きが変わらない」特別なベクトルが存在します。長さは伸び縮みするけれど、向きだけは頑として変えない。
この「ブレないベクトル」のことを、固有ベクトルと呼びます。
これだけだと、何がすごいのか分かりませんよね。ここで、ラグビーボールを思い浮かべてみてください。
ラグビーボールを空中に放り投げて回転させたとします。ボールの表面にある点は、回転に合わせて複雑に動き回りますよね。
でも、その回転の「中心軸（串を刺した部分）」にある点だけは、その場から動きません（あるいは軸の上を移動するだけです）。
この「回転軸」こそが固有ベクトルです。
つまり、固有ベクトルを見つけるということは、その物体（データ）が「どんな軸を中心にして動いているか」、つまり「そのデータの中心的な構造」を見抜くことと同じなのです。
なぜ機械学習に必須なのか？
では、この「ブレない芯」を見つけることが、なぜAIにとって重要なのでしょうか。
大きく分けて2つの理由があります。
1. データを「要約」して扱いやすくする（次元削減）
機械学習では、扱うデータの項目（次元）が多すぎると、計算が大変になるだけでなく、精度が落ちてしまうことがあります。「次元の呪い」と呼ばれる現象です。
例えば、健康診断のデータで「身長・体重・腹囲・座高・血圧……」と100項目あったとします。これをそのまま分析するのは大変です。
ここで固有ベクトルの出番です。
データの散らばり具合（分散）を計算し、その中で「データが一番大きく散らばっている方向（＝情報量が一番多い方向）」を探します。実は、この方向こそが「固有ベクトル」なのです。
「身長」と「体重」はバラバラに見えますが、固有ベクトルを計算すると、「体格の大きさ」という新しいひとつの軸（総合的な特徴）が見つかるかもしれません。
100個の項目を、情報の詰まった数個の「固有ベクトル（主成分）」に置き換えてしまう。
これを専門用語で「主成分分析（PCA）」と呼びます。
固有ベクトルを使えば、膨大なデータの「ノイズ（どうでもいい情報）」を捨てて、「エッセンス（重要な情報）」だけを抽出できるのです。
2. 「何が重要か」をランキング付けできる（固有値）
固有ベクトルとセットで必ず出てくるのが「固有値（こゆうた）」です。
- 固有ベクトル：データの「軸（方向）」
- 固有値：その軸の「重要度（長さ）」
と考えてください。
先ほどの健康診断の例で言うと、たくさんの軸が見つかった中で、どの軸がデータを一番よく説明しているのかを判断する必要があります。
固有値が大きい順に固有ベクトルを選べば、「これがデータの80%を説明するメインの特徴です」「これは残り1%の細かい誤差です」といった判断ができます。
Googleの検索エンジンも、かつては「PageRank（ページランク）」というアルゴリズムを使っていました。これは、「ウェブ全体のリンク構造を表す巨大な行列の、最大の固有値を持つ固有ベクトル」を計算し、各ページの重要度をランキング付けしていたのです。
つまり、固有ベクトルを知ることは、データの「優先順位」を知ることなのです。
固有ベクトルを学ぶメリットとデメリット
ここで、改めて学ぶメリットなどを整理します。
メリット
- 「主成分分析（PCA）」が理解できる機械学習のデータ前処理で頻出するPCA。これが「固有ベクトルを求めているだけ」だと分かれば、ブラックボックスではなくなります。
- 画像処理に強くなる顔認識などの分野では、「固有顔（アイゲンフェイス）」という技術があります。顔画像の特徴を固有ベクトルとして取り出す技術です。こうした論文の意味が分かるようになります。
- データを見る目が変わるただの数字の羅列が、「ある方向性を持ったカタマリ」としてイメージできるようになります。
デメリット
- 手計算は地獄3
3 の行列でさえ、固有値と固有ベクトルを手計算で求めるのは非常に面倒です。計算ミスも多発します。
- 意味の解釈が難しい計算で出てきた「固有ベクトル（新しい軸）」が、現実世界で具体的に何を意味するのか（例：これは『体格』を表す軸だ、など）は、人間が考えて解釈しなければなりません。
今後の学習の指針
ここまで読んでいただき、ありがとうございます。
「固有ベクトル」という名前の威圧感が、少しは和らいだでしょうか。
「データという雲の中に一本の串（軸）を通して、その構造を明らかにする道具」
そうイメージしておけば十分です。
最後に、これからの学習のアドバイスです。
「手計算はあきらめて、Pythonに任せよう！」
固有値計算は、人間がやるものではありません。Pythonの NumPy や scikit-learn を使えば、一瞬で計算してくれます。
これからは、以下の流れで学習を進めてみてください。
- Pythonで適当なデータセットを用意する（有名なアヤメのデータなど）。
scikit-learnのPCA（主成分分析）を使って、データを2次元に圧縮してみる。- 結果をグラフにプロットして、「おー！バラバラだったデータが綺麗に分かれた！」と感動する。
「固有ベクトル」という数学的な概念が、実際のプログラムでどう「データの要約」として機能するのか。それを体験するのが一番の近道です。
これで、機械学習を支える数学の基礎ツアーは一区切りです。
あなたはもう、数式の海を渡るための羅針盤を持っています。恐れずに、機械学習の実践へと漕ぎ出してください！
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投稿者プロフィール
- 代表取締役
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セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
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学生時代は趣味と実益を兼ねてリゾートバイトにいそしむ。長野県白馬村に始まり、志賀高原でのスキーインストラクター、沖縄石垣島、北海道トマム。高じてオーストラリアのゴールドコーストでツアーガイドなど。現在は野菜作りにはまっている。
