集合記号「⊂」「∪」「∈」「∅」はどこから来た？ ルーツとエピソードから学ぶ“集合の記号”の歴史
山崎講師こんにちは。ゆうせいです。
今回のテーマは、数学でよく出てくる**「集合」の記号**たちです。
あなたも学校で、「A⊂B」や「x∈A」といった記号に出会ったことがありますよね。
でも、その記号がどうしてその形なのか？
なぜ「∅」は空集合なのか？
そんなふうに由来を気にしたことはありますか？
今回は、「集合」を表す記号の成り立ちとその背後にある歴史やエピソードをたっぷりご紹介します。記号の意味だけでなく、誰が最初に使ったのか？なぜその形なのか？を知ることで、もっと数学を身近に感じられるようになりますよ。
集合って何だっけ？
まず前提として、「集合」とは何か？を簡単に整理しておきましょう。
数学における集合とは、
「ある共通の性質を持つものの集まり」のこと。
たとえば、偶数の集合、動物の集合、好きな映画の集合…なんでも「共通性」を軸に集めれば、それは数学的な集合になります。
「⊂」と「⊃」はどこから来た？
H2：A⊂B の意味と由来
記号「⊂」は、「AはBの部分集合である」という意味。
英語では「A is a subset of B」や「A is included in B」と言います。
この「⊂」の形、よく見ると「＜」に似ていませんか？
実は、この形は昔「A＜B」と書かれていた名残なのです！
H3：いつ、誰が使い始めた？
- 最も古い使用例は、リヒャルト・デデキントの1872年の著作。
- その後、エルンスト・シュレーダーが1890年の論文で明確に「⊂」を集合記号として導入。
- フランスの数学者ジョセフ・ゲルゴンヌは1817年に「C」や「⊃」を使っていたという記録も。
つまり、「⊂」と「⊃」は、不等号と文字のC（containの頭文字）から生まれた記号なんですね。
H3：「⊃」はその逆
「A⊃B」は「AはBを含む」、つまり「Aが大きくてBを中に持っている」状態。
このように、「⊂」と「⊃」は双方向の視点で使われるのです。
「⊆」「⊇」「⊊」「⊋」もある？
もちろんです！
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| ⊆ | 「AはBに含まれる」（AとBが等しい場合も含む） |
| ⊊ | 「AはBの真部分集合（A≠B）」 |
| ⊇ | 「AはBを含む」（B⊆Aと同じ） |
| ⊋ | 「AはBの真上位集合」 |
「∈」と「∋」の記号の意味と背景
H2：x∈A の意味とルーツ
「x∈A」は、「xは集合Aの要素である」という意味。
実はこれ、ギリシャ文字の「ε（エプシロン）」に由来していて、ラテン語で「est（…である）」の略とされていました。
H3：誰が使ったの？
- 1889年：ジュゼッペ・ペアノが記号「ε」を導入（uncial体と呼ばれる書体を使用）
- 1903年：バートランド・ラッセルが著書『Principles of Mathematics』で定型化された「∈」を使用
つまり、「∈」は「“属する”という関係性をεで表した」記号なのです。
H3：逆向きの「∋」もある！
「A∋x」は「Aがxを含む」という意味ですが、意味は「x∈A」と同じ。
順番の違いだけで、どちらを使ってもOKです。
否定形もある！
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| ∉ | 「xはAに属さない」 |
| ∌ | 「Aはxを含まない」 |
これらは、1939年に数学者集団「ニコラ・ブルバキ」によって導入されました。
「∩」「∪」はどうしてこの形？
H2：交差と合併の記号の由来
- 「A∩B」：AとBの共通部分（積集合）
- 「A∪B」：AとBの合わせた集合（和集合）
これらは、1888年にペアノが幾何学の論文で使ったのが初出とされています。
H3：実は「∪」と「∩」は“文字”だった！
- 「∪」は「union（合併）」の頭文字「U」から。
- 「∩」はその逆向きで、形のバランスから使われたとされます。
これらの記号、実は「カップ（cup）」と「キャップ（cap）」とも呼ばれ、
ソフトウェアで変換するときに「cup」「cap」と入力すれば出てくることもあります！
「∅（空集合）」はなぜその形？
H2：「∅」＝要素がひとつもない集合
「∅」は、空集合（何も要素を含まない集合）を表します。
これも、ニコラ・ブルバキが1939年に導入しました。
H3：形の由来は「ノルウェー語のØ」！
ブルバキの中心人物だったアンドレ・ヴェイユが、「∅」はノルウェー語のアルファベット「Ø」に由来すると語っています。
間違えやすい記号もある！
- 「φ」：ギリシャ文字 phi（似てるけど別物）
- 「0/（スラッシュゼロ）」：タイプライター時代に代用されたもの
その他の集合記号もある！
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| Ac | Aの補集合（全体集合Uに対してA以外の要素） |
| A＋B | AとBの直和集合（A∩B＝∅ の場合） |
| A＼B または A－B | Aの中でBに入らない要素の集合（差集合） |
| AΔB | 対称差：AまたはBのどちらかにだけ含まれる要素の集合 |
H3：濃度（|A|）も忘れずに
「|A|」は、集合Aに含まれる要素の個数、つまり濃度（カーディナリティ）を表します。
たとえば、A = {1, 2, 3} のとき、|A| = 3 となります。
まとめ：集合記号は「言語」として生まれた
今回のテーマでは、「集合」という抽象的な概念を表すために、
数学者たちが試行錯誤して作り出した記号たちをご紹介しました。
特に印象的なのは、
- 多くの記号が「英単語の頭文字」に由来していたり
- 書きやすさや視覚的なわかりやすさを意識していたこと
集合記号はただのマークではなく、意味の詰まった“ことば”なのです。
参考文献
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投稿者プロフィール
- 代表取締役
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セイ・コンサルティング・グループ株式会社代表取締役。
岐阜県出身。
2000年創業、2004年会社設立。
IT企業向け人材育成研修歴業界歴20年以上。
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