【数学と統計の交差点】「背理法」と「仮説検定」は兄弟だった？その意外な共通点と決定的な違い

2025年12月20日 2025年12月20日山崎講師

山崎講師

こんにちは。ゆうせいです。

みなさんは、誰かと議論をしていて「もし君の言うことが正しいとしたら、こんな変なことが起きるよね？だから君は間違っているんだ」という言い方をしたことはありませんか？

実はこれ、数学やデータ分析の世界で非常に強力な武器として使われている論法なんです。

今回は、高校数学で習う「背理法（はいりほう）」と、データ分析の基本である「仮説検定（かせつけんてい）」についてお話しします。

「名前は聞いたことあるけど、難しそう……」

そう思ったあなたこそ、この記事のターゲットです！

実はこの2つ、「わざとひねくれた仮定をする」という点で、兄弟のようにそっくりなんです。

でも、そこには「白黒つけるか」「グレーゾーンを許すか」という決定的な違いもあります。この違いを知っているだけで、数字や論理に対する見方がガラッと変わりますよ。

ぜひ最後までお付き合いください！

共通点：あえて「逆」を仮定する探偵のテクニック

まずは、この2つの最大の共通点から見ていきましょう。それは、アプローチの仕方が「ひねくれ者」だということです。

普通、何かを証明したいときは「AだからBだ！」と真っ直ぐ説明しますよね。

しかし、背理法と仮説検定は違います。

まるで、容疑者を問い詰める探偵のようではありませんか？

「もしあなたが犯人じゃないなら、犯行時刻に北海道にいたはずですよね？でも防犯カメラには東京のあなたが映っています。だからあなたが犯人です！」

この「一旦、逆を受け入れるフリをする」というスタイルこそが、背理法と仮説検定をつなぐ太い絆なのです。

では、それぞれの特徴を詳しく見ていきましょう。まずは高校数学で登場する「背理法」です。

背理法のキーワードは「矛盾（むじゅん）」です。

ここには「多分」や「恐らく」といった曖昧さは一切ありません。

教科書によく出る「 $\sqrt{2}$ は無理数（分数で表せない数）である」という証明を思い出してみてください。

逆を仮定する「 $\sqrt{2}$ は有理数（分数）である」と仮定します。 $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ （ $a$ と $b$ はこれ以上約分できない整数）と置きます。
計算を進めると……この式を変形していくと、「 $a$ も $b$ も偶数じゃないといけない」という結果が出てきてしまいます。あれ？最初のお約束で「これ以上約分できない（両方が偶数ではない）」と決めたはずなのに、話が食い違っています。これが「矛盾」です。
結論矛盾が起きたのは、最初の「分数である」という仮定が間違っていたからです。よって、 $\sqrt{2}$ は無理数です。

このように、背理法は「可能性 0%」であることを突きつけて、相手を論破する最強の論理です。

次に、データサイエンスで使われる「仮説検定」です。

ここでのキーワードは「めったに起きない」です。背理法と違って、100%の否定はしません。

あなたが友人と賭けをしていて、友人が投げたコインが「10回連続で表」になったとします。

あなたは「イカサマだ！」と思いますよね。これを仮説検定で考えてみましょう。

逆を仮定する（帰無仮説）「このコインはイカサマではない（正しいコインだ）」と仮定します。
確率を計算する（P値）正しいコインで10回連続表が出る確率はどのくらいでしょう？ $(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$ つまり、約 $0.1 %$ です。
結論「正しいコインなら、こんなこと $0.1 %$ の確率でしか起きないよ。そんな奇跡、偶然とは考えにくいなあ」そう判断して、「コインは正しくない（イカサマだ）」という結論を出します。